L'assertion donnée est :

$\forall x \in \mathbb{N}^*, \forall n \in \mathbb{R}^+ : (1 + n)^x \geq 1 + nx$

Nous allons analyser cette inégalité pour voir si elle est vraie pour tout $x \in \mathbb{N}^*$ et tout $n \in \mathbb{R}^+$.

Analyse pour $x = 1$ :

Pour $x = 1$, l'inégalité devient : $(1 + n) \geq 1 + n$ Cela est évidemment vrai puisque $(1 + n) = 1 + n$.

Analyse pour $x = 2$ :

Pour $x = 2$, l'inégalité devient : $(1 + n)^2 \geq 1 + 2n$ Développons $(1 + n)^2$ : $(1 + n)^2 = 1 + 2n + n^2$ Ainsi, l'inégalité devient : $1 + 2n + n^2 \geq 1 + 2n$ En soustrayant $1 + 2n$ des deux côtés, on obtient : $n^2 \geq 0$ Ce qui est vrai pour tout $n \in \mathbb{R}^+$, puisque $n^2 \geq 0$.

Analyse pour $x = 3$ :

Pour $x = 3$, l'inégalité devient : $(1 + n)^3 \geq 1 + 3n$ Développons $(1 + n)^3$ : $(1 + n)^3 = 1 + 3n + 3n^2 + n^3$ L'inégalité devient donc : $1 + 3n + 3n^2 + n^3 \geq 1 + 3n$ En simplifiant : $3n^2 + n^3 \geq 0$ Ce qui est vrai pour tout $n \in \mathbb{R}^+$, car $3n^2 \geq 0$ et $n^3 \geq 0$.

Conclusion générale :

Pour tout $x \in \mathbb{N}^*$ et tout $n \in \mathbb{R}^+$, l'inégalité : $(1 + n)^x \geq 1 + nx$ est vraie. Cela découle du fait que les termes additionnels dans le développement de $(1 + n)^x$ (les puissances de $n$ plus élevées que $n^1$) sont toujours positifs pour $n \in \mathbb{R}^+$, ce qui garantit que $(1 + n)^x$ est toujours supérieur ou égal à $1 + nx$.

Donc, l'assertion est vraie.

Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions pour aller plus loin :

1. Comment l'inégalité se comporte-t-elle pour des valeurs très grandes de $n$ ?
2. Quel est le lien entre cette inégalité et le développement en série de Taylor ?
3. L'inégalité serait-elle toujours vraie si $x$ n'était pas entier ?
4. Peut-on démontrer cette inégalité en utilisant des techniques d'analyse ou des dérivées ?
5. Quelles sont les conditions nécessaires pour que l'inégalité devienne une égalité ?

Astuce : Quand vous rencontrez une inégalité, tentez d'examiner des cas particuliers et d'exploiter des outils algébriques comme les développements binomiaux pour mieux la comprendre.