Untuk membuktikan bahwa $A \cup B = B$ jika dan hanya jika $A \subseteq B$, kita perlu menunjukkan dua hal:

1. Jika $A \cup B = B$, maka $A \subseteq B$.
2. Jika $A \subseteq B$, maka $A \cup B = B$.

Bagian 1: Jika $A \cup B = B$, maka $A \subseteq B$.

Misalkan $A \cup B = B$. Kita akan menunjukkan bahwa setiap elemen $x$ yang ada di $A$ juga ada di $B$.

• Ambil sembarang $x \in A$.
• Karena $x \in A$, maka $x \in A \cup B$ berdasarkan definisi himpunan gabungan.
• Tetapi, $A \cup B = B$, sehingga $x \in B$.
• Karena $x \in A$ mengimplikasikan $x \in B$, maka $A \subseteq B$.

Bagian 2: Jika $A \subseteq B$, maka $A \cup B = B$.

Misalkan $A \subseteq B$. Kita akan menunjukkan bahwa $A \cup B = B$.

• Pertama, kita tunjukkan bahwa $B \subseteq A \cup B$ selalu benar karena setiap elemen dari $B$ sudah termasuk dalam gabungan $A \cup B$.
• Sekarang, kita tunjukkan bahwa $A \cup B \subseteq B$. Ambil sembarang $x \in A \cup B$.
  • Jika $x \in A$, maka $x \in B$ karena $A \subseteq B$.
  • Jika $x \in B$, maka jelas $x \in B$.
• Karena $A \cup B \subseteq B$ dan $B \subseteq A \cup B$, maka $A \cup B = B$.

Dengan demikian, telah terbukti bahwa $A \cup B = B$ jika dan hanya jika $A \subseteq B$.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau ada pertanyaan lain?
Berikut 5 pertanyaan terkait yang bisa Anda pertimbangkan:

1. Bagaimana bukti ini berlaku untuk himpunan tak terbatas?
2. Apa hubungan antara $A \cap B = A$ dan $A \subseteq B$?
3. Bisakah Anda memberikan contoh konkret dari himpunan $A$ dan $B$ yang memenuhi syarat-syarat ini?
4. Bagaimana cara membuktikan $A \cup B = A$ jika dan hanya jika $B \subseteq A$?
5. Apakah hasil ini dapat diperluas untuk lebih dari dua himpunan?

Tip: Ketika membuktikan pernyataan "jika dan hanya jika," selalu pastikan untuk membuktikan kedua arah (implikasi dan konvers).