Untuk membuktikan bahwa "tidak ada bilangan rasional yang kuadratnya sama dengan 5" dengan pembuktian kontradiksi, kita akan mengikuti langkah-langkah berikut.

Langkah 1: Asumsi bahwa ada bilangan rasional $r$ yang kuadratnya sama dengan 5

Misalkan ada bilangan rasional $r$ yang memenuhi persamaan: $r^2 = 5$ Bilangan rasional dapat ditulis sebagai $r = \frac{p}{q}$, di mana $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat yang saling prima (yaitu, $\text{pgcd}(p, q) = 1$), dan $q \neq 0$. Dengan demikian, kita dapat menulis persamaan $r^2 = 5$ menjadi: $\left( \frac{p}{q} \right)^2 = 5$ atau $\frac{p^2}{q^2} = 5$

Langkah 2: Menyusun persamaan yang lebih sederhana

Dengan mengalikan kedua sisi persamaan dengan $q^2$, kita memperoleh: $p^2 = 5q^2$

Langkah 3: Analisis kesimpulan

Persamaan $p^2 = 5q^2$ menunjukkan bahwa $p^2$ adalah kelipatan dari 5. Ini berarti $p$ sendiri haruslah kelipatan dari 5. Misalkan $p = 5k$, di mana $k$ adalah suatu bilangan bulat.

Langkah 4: Substitusi $p = 5k$ ke dalam persamaan

Sekarang, substitusi $p = 5k$ ke dalam persamaan $p^2 = 5q^2$: $(5k)^2 = 5q^2$ $25k^2 = 5q^2$ Kemudian, bagi kedua sisi dengan 5: $5k^2 = q^2$ Ini menunjukkan bahwa $q^2$ juga merupakan kelipatan dari 5, yang berarti $q$ juga harus kelipatan dari 5.

Langkah 5: Menyimpulkan kontradiksi

Sekarang kita mendapatkan bahwa $p$ dan $q$ keduanya merupakan kelipatan dari 5. Namun, ini bertentangan dengan asumsi awal kita bahwa $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat yang saling prima (yaitu, $\text{pgcd}(p, q) = 1$). Karena $p$ dan $q$ keduanya kelipatan dari 5, maka $\text{pgcd}(p, q) \geq 5$, yang bertentangan dengan asumsi bahwa $p$ dan $q$ adalah saling prima.

Langkah 6: Kesimpulan

Karena asumsi bahwa ada bilangan rasional $r$ yang kuadratnya sama dengan 5 mengarah pada kontradiksi, maka dapat disimpulkan bahwa tidak ada bilangan rasional yang kuadratnya sama dengan 5.

---

Ingin penjelasan lebih lanjut?
Apakah Anda ingin penjelasan lebih mendalam tentang langkah-langkah tertentu?

---

Pertanyaan terkait:

1. Apa yang dimaksud dengan bilangan rasional dan irasional?
2. Apa yang dimaksud dengan pembuktian kontradiksi dalam matematika?
3. Bagaimana cara membuktikan bahwa akar kuadrat dari 2 tidak rasional?
4. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat dalam bentuk umum?
5. Apa yang dimaksud dengan dua bilangan bulat yang saling prima?

Tip:
Selalu periksa definisi dasar dalam pembuktian kontradiksi. Memulai dengan asumsi yang berlawanan dengan klaim yang ingin dibuktikan adalah kunci dalam menemukan kontradiksi yang valid.