任意の自然数kに対して、(k+1)(2k+3)/2 - k(2k+1)/2 - √(2(k+1)(2k+1)が成り立つことを証明せよ

この問題は任意の自然数 \( k \) に対して以下の式を証明するものです。

\[
\frac{(k+1)(2k+3)}{2} - \frac{k(2k+1)}{2} - \sqrt{2(k+1)(2k+1)} = 0
\]

証明のために、まずこの式の各項を簡単化していきます。

### ステップ1: 各項を展開

1. \(\frac{(k+1)(2k+3)}{2}\) の項を展開します。
   \[
   (k+1)(2k+3) = k(2k+3) + 1(2k+3) = 2k^2 + 3k + 2k + 3 = 2k^2 + 5k + 3
   \]
   よって、
   \[
   \frac{(k+1)(2k+3)}{2} = \frac{2k^2 + 5k + 3}{2}
   \]

2. \(\frac{k(2k+1)}{2}\) の項を展開します。
   \[
   k(2k+1) = 2k^2 + k
   \]
   よって、
   \[
   \frac{k(2k+1)}{2} = \frac{2k^2 + k}{2}
   \]

3. \(\sqrt{2(k+1)(2k+1)}\) を考えますが、まず

Learn how to prove the mathematical equation (k+1)(2k+3)/2 - k(2k+1)/2 - √(2(k+1)(2k+1)) = 0 for any natural number k. This detailed proof involves algebraic manipulation, equations, and square root properties, suitable for advanced high school students.

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