Bài toán: Cho số nguyên $n$ lớn hơn 1. Giả sử có $n$ số nguyên dương không vượt quá $2n$, nhưng bội chung nhỏ nhất của mỗi cặp trong chúng đều lớn hơn $2n$. Chứng minh rằng tất cả $n$ số đều lớn hơn $\frac{2n}{3}$.

Giải quyết:

Giả sử tập các số nguyên dương là $S = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$, với $a_i \in [1, 2n]$ và $\text{LCM}(a_i, a_j) > 2n$ với mọi $i \neq j$.

Bước 1: Xét tính chất của bội chung nhỏ nhất

Nếu $\text{LCM}(a_i, a_j) > 2n$ cho mọi $i \neq j$, điều này có nghĩa là không tồn tại $a_i$ và $a_j$ nào có ước chung lớn hơn 1 và cả hai đều nhỏ hơn hoặc bằng $2n$. Điều này cũng ngụ ý rằng $a_i$ và $a_j$ không được có bất kỳ ước chung nào lớn hơn 1, hay nói cách khác, $a_i$ và $a_j$ phải nguyên tố cùng nhau với nhau, nghĩa là $\gcd(a_i, a_j) = 1$.

Bước 2: Giới hạn các giá trị của $a_i$

Giả sử ngược lại rằng có một số $a_i \leq \frac{2n}{3}$. Khi đó, ta sẽ tìm một số khác $a_j$ cũng trong khoảng $[1, 2n]$ sao cho $\text{LCM}(a_i, a_j) \leq 2n$, mâu thuẫn với giả thiết bài toán.

Do $a_i \leq \frac{2n}{3}$, ta xét $a_j$ bất kỳ khác $a_i$. Bội chung nhỏ nhất $\text{LCM}(a_i, a_j)$ được tính bởi: $\text{LCM}(a_i, a_j) = \frac{a_i a_j}{\gcd(a_i, a_j)}$ Do $\gcd(a_i, a_j) = 1$ (theo giả thiết), ta có: $\text{LCM}(a_i, a_j) = a_i \cdot a_j$ Nếu $a_i \leq \frac{2n}{3}$ và $a_j \leq 2n$, thì tích $a_i \cdot a_j \leq \frac{2n}{3} \cdot 2n = \frac{4n^2}{3}$.

Ta cần đảm bảo rằng $a_i \cdot a_j > 2n$, nhưng với $a_i \leq \frac{2n}{3}$, ta có: $a_i \cdot a_j \leq \frac{2n}{3} \cdot 2n = \frac{4n^2}{3}$ Do đó, tích này nhỏ hơn hoặc bằng $2n$, mâu thuẫn với giả thiết rằng $\text{LCM}(a_i, a_j) > 2n$. Vậy suy ra, $a_i > \frac{2n}{3}$.

Bước 3: Kết luận

Từ lập luận trên, chúng ta chứng minh rằng mọi số trong tập $S$ đều lớn hơn $\frac{2n}{3}$.

Kết luận: Tất cả các số trong tập $S$ đều lớn hơn $\frac{2n}{3}$.

---

Bạn có muốn biết thêm chi tiết về các bước hoặc có câu hỏi nào khác không?

5 câu hỏi mở rộng:

1. Làm sao để mở rộng bài toán này với các điều kiện khác nhau về bội chung nhỏ nhất?
2. Nếu $n$ nhỏ hơn hoặc bằng 1, thì bài toán này có còn đúng không?
3. Có các phương pháp nào khác để giải bài toán này không?
4. Kết quả này có áp dụng được cho các số nguyên âm không?
5. Điều gì xảy ra nếu bội chung nhỏ nhất của hai số trong tập bằng đúng $2n$?

Mẹo: Khi chứng minh một mệnh đề toán học, việc sử dụng phản chứng (giả sử điều ngược lại) là một cách mạnh để tìm ra mâu thuẫn và khẳng định kết luận ban đầu.