Mari kita pecahkan satu per satu soal ini:

---

A. Tentukan apakah pernyataan-pernyataan ini benar atau salah:

1. [a, -b] = [a, b]

Jawaban: Benar.

Bukti:

• [a, b] adalah Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari $a$ dan $b$.
• Nilai $b$ hanya dipandang dari segi nilai absolutnya karena KPK bergantung pada nilai $|b|$, bukan tanda $b$.
• Dengan kata lain, $[a, -b] = \text{KPK}(a, -b) = \text{KPK}(a, |b|) = [a, b]$.

---

2. Jika $d|(a, b)$, maka $d|[a, b]$

Jawaban: Benar.

Bukti:

• Misalkan $(a, b) = g$, yaitu Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari $a$ dan $b$.
• $d$ adalah suatu bilangan yang membagi $g$, sehingga $d|g$.
• Berdasarkan sifat relasi antara FPB dan KPK, kita tahu: $(a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b$
• Karena $d|(a, b)$, maka $d$ juga membagi $[a, b]$ karena KPK $[a, b]$ adalah kelipatan dari FPB.

---

3. Jika $c$ suatu kelipatan persekutuan dari $a$ dan $b$, maka $(a, b)|c$

Jawaban: Benar.

Bukti:

• Misalkan $(a, b) = g$, yaitu FPB dari $a$ dan $b$.
• Kelipatan persekutuan $c$ dapat dinyatakan sebagai $c = k \cdot [a, b]$, dengan $k$ bilangan bulat.
• Karena $g|(a, b)$, maka $g|c$, sebab $c$ adalah kelipatan dari FPB.

---

B. Pilihlah jawaban yang benar dan buktikan!

1. Jika [a, b] = ab, maka ________

Jawaban: (a) $a$ dan $b$ saling prima.

Bukti:

• [a, b] adalah KPK, dan $(a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b$.
• Jika $[a, b] = a \cdot b$, maka $(a, b) = 1$, karena tidak ada faktor persekutuan selain 1.
• Jadi, $a$ dan $b$ saling prima.

---

2. [126, 120] adalah _________

Jawaban: (c) 1260

Bukti:

1. Temukan $(126, 120)$ menggunakan faktorisasi prima: $126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7, \quad 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$
   • FPB: Ambil faktor terkecil yang sama: $(126, 120) = 2 \cdot 3 = 6$.
   • KPK: Ambil semua faktor terbesar: $[126, 120] = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 1260$.

---

3. Apabila [a, b] = p dan (a, b) = q, maka ___________

Jawaban: (a) $q|p$

Bukti:

• $(a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b$.
• Jika $[a, b] = p$ dan $(a, b) = q$, maka $q \cdot p = a \cdot b$.
• Karena $q$ adalah FPB, maka $q|a$ dan $q|b$, sehingga $q|p$.

---

5 Pertanyaan Tambahan

1. Apa hubungan antara FPB dan KPK jika dua bilangan saling prima?
2. Bagaimana menentukan KPK dan FPB secara langsung dari faktorisasi prima?
3. Mengapa $(a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b$?
4. Apakah $[a, b]$ selalu lebih besar dari atau sama dengan $(a, b)$?
5. Bagaimana aplikasi FPB dan KPK dalam masalah nyata seperti pembagian barang?

Tip: Gunakan faktorisasi prima untuk menghitung FPB dan KPK dengan cepat