Zeige das für alle x, y > 0: x> y => x^2>y^2

Wir wollen zeigen:  
Für \(x, y > 0\) gilt: \(x > y \Rightarrow x^2 > y^2\).

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### **Beweis:**

1. **Start:** Wir wissen, dass \(x > y\) und \(x, y > 0\).  
   Ziel ist es zu zeigen, dass \(x^2 > y^2\).

2. **Umformung:**  
   Wir betrachten die Differenz \(x^2 - y^2\). Diese können wir als **Differenz der Quadrate** umschreiben:

   \[
   x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)
   \]

3. **Analyse der Faktoren:**  
   - Da \(x > y\), ist \(x - y > 0\).
   - Da \(x, y > 0\), ist auch \(x + y > 0\).

4. **Schlussfolgerung:**  
   Da das Produkt \((x - y)(x + y)\) aus zwei positiven Faktoren besteht, folgt:

   \[
   (x - y)(x + y) > 0 \implies x^2 - y^2 > 0
   \]

   Also gilt \(x^2 > y^2\).

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Damit ist bewiesen, dass für alle \(x, y > 0\) gilt: Wenn \(x > y\), dann folgt \(x^2 > y^2\).

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Hast du dazu Fragen oder möchtest du mehr Details zu einem bestimmten Schritt?

### 5 weiterführende Fragen:
1. Wie verhält sich die Aussage, wenn \(x\) und \(y\) negativ sind?
2. Was passiert, wenn \(x = y\)? Gilt dann immer noch \(x^2 > y^2\)?
3. Wie kann man die Aussage auf komplexe Zahlen erweitern?
4. Was ist der Zusammenhang zwischen dieser Ungleichung und der Monotonie der Quadratfunktion?
5. Wie verhält sich die Aussage für nicht-positive Zahlen \(x, y \leq 0\)?

**Tipp:** Die Differenz der Quadrate ist oft eine nützliche Methode, um Ungleichungen zu beweisen.

Zeige das für alle x, y > 0: x > y => x^2 > y^2

Explore the proof showing that for all x, y > 0, if x > y, then x^2 > y^2. This solution uses the difference of squares and properties of inequalities to demonstrate the inequality. Perfect for advanced high school students studying algebraic inequalities and quadratic expressions.

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