Wir wollen zeigen:
Für $x, y > 0$ gilt: $x > y \Rightarrow x^2 > y^2$.

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Beweis:

1. Start: Wir wissen, dass $x > y$ und $x, y > 0$.
   Ziel ist es zu zeigen, dass $x^2 > y^2$.

2. Umformung:
   Wir betrachten die Differenz $x^2 - y^2$. Diese können wir als Differenz der Quadrate umschreiben:

   $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

3. Analyse der Faktoren:

   • Da $x > y$, ist $x - y > 0$.
   • Da $x, y > 0$, ist auch $x + y > 0$.

4. Schlussfolgerung:
   Da das Produkt $(x - y)(x + y)$ aus zwei positiven Faktoren besteht, folgt:

   $(x - y)(x + y) > 0 \implies x^2 - y^2 > 0$

   Also gilt $x^2 > y^2$.

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Damit ist bewiesen, dass für alle $x, y > 0$ gilt: Wenn $x > y$, dann folgt $x^2 > y^2$.

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Hast du dazu Fragen oder möchtest du mehr Details zu einem bestimmten Schritt?

5 weiterführende Fragen:

1. Wie verhält sich die Aussage, wenn $x$ und $y$ negativ sind?
2. Was passiert, wenn $x = y$? Gilt dann immer noch $x^2 > y^2$?
3. Wie kann man die Aussage auf komplexe Zahlen erweitern?
4. Was ist der Zusammenhang zwischen dieser Ungleichung und der Monotonie der Quadratfunktion?
5. Wie verhält sich die Aussage für nicht-positive Zahlen $x, y \leq 0$?

Tipp: Die Differenz der Quadrate ist oft eine nützliche Methode, um Ungleichungen zu beweisen.