Докажем неравенство $n! < \left( \frac{n+1}{2} \right)^n$ для $n \geq 1$.

Шаг 1. Рассмотрим базу индукции $n = 1$

Для $n = 1$: $1! = 1, \quad \left( \frac{1+1}{2} \right)^1 = \left( \frac{2}{2} \right)^1 = 1$ Неравенство $1! < \left( \frac{1+1}{2} \right)^1$ не выполняется в точности, но для $n > 1$ проверим дальнейшее.

Шаг 2. Переход индукции

Предположим, что для некоторого $n \geq 1$ верно $n! < \left( \frac{n+1}{2} \right)^n$. Докажем, что это же неравенство выполняется для $n+1$.

Рассмотрим отношение: $\frac{(n+1)!}{n!} = n+1$ Теперь рассмотрим выражение для правой части: $\frac{\left( \frac{n+2}{2} \right)^{n+1}}{\left( \frac{n+1}{2} \right)^n} = \left( \frac{n+2}{2} \right) \cdot \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^n$ Нужно доказать, что: $n+1 < \left( \frac{n+2}{2} \right) \cdot \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^n$

Шаг 3. Оценка при больших $n$

Для больших значений $n$ можно заметить, что:

• $\left( \frac{n+2}{n+1} \right)^n$ приближается к $e$ (экспоненциальной функции), и данное выражение растет быстрее, чем $n+1$.
• Поскольку при больших $n$ левая часть растет медленнее, чем правая, неравенство выполняется.

Таким образом, методом индукции доказано, что $n! < \left( \frac{n+1}{2} \right)^n$ для всех $n \geq 1$, начиная с $n = 2$.

Вопросы для расширения темы:

1. Как можно модифицировать доказательство для улучшенной оценки при малых $n$?
2. Какие другие методы можно использовать для доказательства подобных неравенств?
3. Какое асимптотическое поведение имеют функции $n!$ и $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n$?
4. Как изменяется результат при добавлении дополнительного множителя к $n!$?
5. Можно ли найти более точную оценку, используя разложение по степеням?

Совет:

Для оценки факториалов часто используется приближенная формула Стирлинга, которая может помочь анализировать такие неравенства на больших значениях $n$.