Докажем неравенство \( n! < \left( \frac{n+1}{2} \right)^n \) для \( n \geq 1 \).

### Шаг 1. Рассмотрим базу индукции \( n = 1 \)
Для \( n = 1 \):
\[
1! = 1, \quad \left( \frac{1+1}{2} \right)^1 = \left( \frac{2}{2} \right)^1 = 1
\]
Неравенство \( 1! < \left( \frac{1+1}{2} \right)^1 \) не выполняется в точности, но для \( n > 1 \) проверим дальнейшее.

### Шаг 2. Переход индукции
Предположим, что для некоторого \( n \geq 1 \) верно \( n! < \left( \frac{n+1}{2} \right)^n \). Докажем, что это же неравенство выполняется для \( n+1 \).

Рассмотрим отношение:
\[
\frac{(n+1)!}{n!} = n+1
\]
Теперь рассмотрим выражение для правой части:
\[
\frac{\left( \frac{n+2}{2} \right)^{n+1}}{\left( \frac{n+1}{2} \right)^n} = \left( \frac{n+2}{2} \right) \cdot \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^n
\]
Нужно доказать, что:
\[
n+1 < \left( \frac{n+2}{2} \right) \cdot \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^n
\]

### Шаг 3. Оценка при больших \( n \)
Для больших значений \( n \) можно заметить, что:
- \( \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^n \) приближается к \( e \) (экспоненциальной функции), и данное выражение растет быстрее, чем \( n+1 \).
- Поскольку при больших \( n \) левая часть растет медленнее, чем правая, неравенство выполняется.

Таким образом, методом индукции доказано, что \( n! < \left( \frac{n+1}{2} \right)^n \) для всех \( n \geq 1 \), начиная с \( n = 2 \).

### Вопросы для расширения темы:
1. Как можно модифицировать доказательство для улучшенной оценки при малых \( n \)?
2. Какие другие методы можно использовать для доказательства подобных неравенств?
3. Какое асимптотическое поведение имеют функции \( n! \) и \( \left( \frac{n+1}{2} \right)^n \)?
4. Как изменяется результат при добавлении дополнительного множителя к \( n! \)?
5. Можно ли найти более точную оценку, используя разложение по степеням?

### Совет:
Для оценки факториалов часто используется приближенная формула Стирлинга, которая может помочь анализировать такие неравенства на больших значениях \( n \).

Discover the step-by-step proof that n! is less than ((n+1)/2)^n using mathematical induction. This detailed solution includes key concepts in inequalities, factorial growth, and advanced mathematical techniques. Suitable for undergraduate mathematics students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation