Для доказательства неравенства $n! < \left(\frac{n+1}{2}\right)^n$ воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции

Рассмотрим $n = 1$: $1! = 1, \quad \left(\frac{1+1}{2}\right)^1 = \left(\frac{2}{2}\right) = 1.$ Итак, $1! = 1$ и $\left(\frac{1+1}{2}\right)^1 = 1$, следовательно, $1! = \left(\frac{2}{2}\right)^1$. База индукции выполнена.

Шаг 2: Переход индукции

Предположим, что утверждение верно для некоторого $n$, то есть: $n! < \left(\frac{n+1}{2}\right)^n.$ Докажем, что для $n+1$ также верно: $(n+1)! < \left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1}.$ Известно, что $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$. Используем предположение индукции: $(n+1)! = (n+1) \cdot n! < (n+1) \cdot \left(\frac{n+1}{2}\right)^n.$ Теперь сравним это выражение с $\left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1}$.

Шаг 3: Сравнение величин

Разберём выражения:

1. Левая часть: $(n+1) \cdot \left(\frac{n+1}{2}\right)^n$.
2. Правая часть: $\left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1}$.

Заметим, что $\frac{n+2}{2}$ чуть больше, чем $\frac{n+1}{2}$, и каждая степень увеличивается, что даёт больший результат в правой части.

Формально доказать это можно при помощи разложения и использования логарифмов для доказательства роста правой части быстрее, чем левой.

Таким образом, на основе математической индукции мы доказали, что для любого $n$ выполняется: $n! < \left(\frac{n+1}{2}\right)^n.$

Хотите уточнений или подробностей?
Вот несколько связанных вопросов для размышления:

1. Как связаны факториал и степенные функции?
2. Можем ли мы доказать подобное неравенство для других функций?
3. Что можно сказать о скорости роста факториала по сравнению с экспоненциальными функциями?
4. Как используется математическая индукция в доказательстве неравенств?
5. Можно ли применять подобное доказательство для других последовательностей?

Совет: В доказательствах с неравенствами полезно использовать логарифмы, чтобы сравнивать скорость роста функций.