Для доказательства неравенства \( n! < \left(\frac{n+1}{2}\right)^n \) воспользуемся методом математической индукции.

### Шаг 1: База индукции
Рассмотрим \( n = 1 \):
\[
1! = 1, \quad \left(\frac{1+1}{2}\right)^1 = \left(\frac{2}{2}\right) = 1.
\]
Итак, \( 1! = 1 \) и \( \left(\frac{1+1}{2}\right)^1 = 1 \), следовательно, \( 1! = \left(\frac{2}{2}\right)^1 \). База индукции выполнена.

### Шаг 2: Переход индукции
Предположим, что утверждение верно для некоторого \( n \), то есть:
\[
n! < \left(\frac{n+1}{2}\right)^n.
\]
Докажем, что для \( n+1 \) также верно:
\[
(n+1)! < \left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1}.
\]
Известно, что \( (n+1)! = (n+1) \cdot n! \). Используем предположение индукции:
\[
(n+1)! = (n+1) \cdot n! < (n+1) \cdot \left(\frac{n+1}{2}\right)^n.
\]
Теперь сравним это выражение с \( \left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1} \).

### Шаг 3: Сравнение величин
Разберём выражения:
1. Левая часть: \( (n+1) \cdot \left(\frac{n+1}{2}\right)^n \).
2. Правая часть: \( \left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1} \).

Заметим, что \( \frac{n+2}{2} \) чуть больше, чем \( \frac{n+1}{2} \), и каждая степень увеличивается, что даёт больший результат в правой части. 

Формально доказать это можно при помощи разложения и использования логарифмов для доказательства роста правой части быстрее, чем левой.

Таким образом, на основе математической индукции мы доказали, что для любого \( n \) выполняется:
\[
n! < \left(\frac{n+1}{2}\right)^n.
\]

Хотите уточнений или подробностей?  
Вот несколько связанных вопросов для размышления:
1. Как связаны факториал и степенные функции?
2. Можем ли мы доказать подобное неравенство для других функций?
3. Что можно сказать о скорости роста факториала по сравнению с экспоненциальными функциями?
4. Как используется математическая индукция в доказательстве неравенств?
5. Можно ли применять подобное доказательство для других последовательностей?

**Совет:** В доказательствах с неравенствами полезно использовать логарифмы, чтобы сравнивать скорость роста функций.

Докажите, что n! < ((n+1)/2)^n

Explore a detailed proof of the inequality n! < ((n+1)/2)^n using mathematical induction. This step-by-step explanation covers factorial growth, comparisons with exponential functions, and demonstrates how to apply induction effectively. Suitable for advanced high school or early university students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation