证明：我们需要证明当 $r \to +\infty$ 时，$\mathbb{E}\left\{\left[(Z - r)^{+}\right]^{2}\right\} \to 0$，其中 $(x)^+ = \max(x, 0)$ 表示正部。

1. 引入定义与条件

设随机变量 $Z$ 满足 $\mathbb{E}\left\{Z^2\right\} < \infty$，即 $Z$ 是二阶可积的随机变量。令 $(Z - r)^+ = \max(Z - r, 0)$，那么 (\left[(Z - r)^+\right]^2 = \begin{cases} (Z - r)^2, & \text{当 } Z > r, \ 0, & \text{当 } Z \leq r. \end{cases})

因此，$\mathbb{E}\left\{\left[(Z - r)^{+}\right]^{2}\right\}$ 可以写成 $\mathbb{E}\left\{\left[(Z - r)^{+}\right]^{2}\right\} = \int_{r}^{\infty} (z - r)^2 f_Z(z) \, dz,$ 其中 $f_Z(z)$ 是随机变量 $Z$ 的概率密度函数。

2. 性质分析

从积分的形式可以看出，当 $r \to +\infty$ 时，积分的下限 $r$ 逐渐趋向无穷大，而 $(z - r)^2 \cdot f_Z(z)$ 的值依赖于 $f_Z(z)$ 在 $z > r$ 范围内的行为。我们利用以下性质来说明其极限为 0：

性质 1：随机变量 $Z$ 的二阶矩有限

由条件 $\mathbb{E}\left\{Z^2\right\} < \infty$ 可知 $\int_{-\infty}^{\infty} z^2 f_Z(z) \, dz < \infty,$ 这意味着 $f_Z(z)$ 在 $z$ 很大时衰减得足够快，以保证 $z^2 f_Z(z)$ 可积。

性质 2：积分在尾部的控制

当 $r \to +\infty$ 时，积分 $\int_{r}^{\infty} (z - r)^2 f_Z(z) \, dz$ 对应的是 $Z > r$ 的部分。由于 $(z - r)^2$ 增长速度慢于 $z^2$，而 $f_Z(z)$ 的衰减可以保证这一部分积分逐渐减小。

3. 严格计算与估计

对 $(z - r)^2 f_Z(z)$ 进行变换，设 $t = z - r$，即 $z = r + t$，从而 $\int_{r}^{\infty} (z - r)^2 f_Z(z) \, dz = \int_{0}^{\infty} t^2 f_Z(r + t) \, dt.$

由于 $Z$ 的密度函数 $f_Z(z)$ 满足 $\int_{-\infty}^{\infty} z^2 f_Z(z) \, dz < \infty$，当 $r \to +\infty$ 时，$f_Z(r + t)$ 在 $r \to +\infty$ 时快速衰减。特别地，由于 $\int_{0}^{\infty} t^2 f_Z(r + t) \, dt \leq \int_{r}^{\infty} z^2 f_Z(z) \, dz,$ 而当 $r \to +\infty$ 时，右侧积分趋于零（因为 $Z$ 的二阶矩有限），因此我们可以断定 $\mathbb{E}\left\{\left[(Z - r)^{+}\right]^2\right\} \to 0 \quad \text{当 } r \to +\infty.$

4. 小结

综合以上分析，$\mathbb{E}\left\{\left[(Z - r)^{+}\right]^2\right\} \to 0$ 的原因可以归结为：

1. $f_Z(z)$ 的快速衰减确保 $Z > r$ 时的概率质量逐渐减小；
2. $Z$ 的二阶矩有限限制了尾部的贡献，使得积分逐渐趋于零。

问题扩展

1. 如果 $Z$ 的二阶矩不有限（例如 $\mathbb{E}\{Z^2\} = \infty$），上述结论是否仍然成立？
2. 证明对于任意 $p > 1$，如果 $\mathbb{E}\{|Z|^p\} < \infty$，则类似结论依然成立。
3. 在 $Z$ 是离散型随机变量的情况下，如何调整证明思路？
4. 若替换成其他函数（如 $\mathbb{E}\{e^{(Z-r)^+}\}$），是否有类似结论？
5. 设 $Z$ 为正态分布随机变量，如何显式计算上述期望？

小提示：结合 Markov 不等式可以从概率角度辅助验证尾部积分的快速衰减。