Рассмотрим высказывание:

$\exists x \, \forall y \, (x^2 - 5x - 3y = 0).$

Расшифруем задачу: Это высказывание утверждает, что существует хотя бы одно значение $x$, такое, что для всех значений $y$ из области определения выполняется равенство $x^2 - 5x - 3y = 0$. Область определения предиката — $\mathbb{R}^2$, что означает, что и $x$, и $y$ — произвольные действительные числа.

---

1. Анализ уравнения

Перепишем уравнение: $x^2 - 5x = 3y.$

Для фиксированного $x$, правая часть $3y$ становится функцией $x$. Однако в нашем случае требуется, чтобы $x^2 - 5x$ был кратным 3 для любого $y$, так как $3y \in \mathbb{R}$. Но это возможно только, если $x^2 - 5x = 0$ — т.е. равенство не зависит от $y$. Проверим, возможно ли такое:

---

2. Решение уравнения $x^2 - 5x = 0$

Решим уравнение: $x(x - 5) = 0.$ Тогда: $x = 0 \quad \text{или} \quad x = 5.$

Теперь проверим оба решения:

При $x = 0$:

$0^2 - 5 \cdot 0 - 3y = 0 \implies -3y = 0 \implies y = 0.$ Таким образом, равенство выполняется только для одного значения $y = 0$, но не для всех $y \in \mathbb{R}$.

При $x = 5$:

$5^2 - 5 \cdot 5 - 3y = 0 \implies 25 - 25 - 3y = 0 \implies -3y = 0 \implies y = 0.$ Аналогично, равенство выполняется только для $y = 0$, но не для всех $y \in \mathbb{R}$.

---

3. Вывод

Высказывание ложно, так как для заданного $x$ уравнение $x^2 - 5x - 3y = 0$ выполняется не для всех $y$, а только для конкретного $y = 0$.

---

Доказательство завершено. Если хотите уточнить выводы, спросите!

---

Для проверки можно попробовать ответить на такие вопросы:

1. Почему равенство $x^2 - 5x - 3y = 0$ требует зависимости $x$ и $y$?
2. Что будет, если область определения изменить на натуральные числа ($\mathbb{N}$)?
3. Почему решение ограничилось $y = 0$?
4. Какие геометрические свойства у уравнения $x^2 - 5x = 3y$?
5. Какие дополнительные шаги могут подтвердить ложность высказывания?

Совет: всегда проверяйте особенные случаи при работе с кванторами, чтобы исключить ошибки!