Эквивалентность отрезков $(0;1)$ и $(0;1]$ означает, что существует взаимно-однозначное отображение (биекция) между ними, показывающее их равномощность, то есть они имеют одинаковую мощность (количество элементов, если рассматривать бесконечные множества).

Доказательство:

1. Определение множеств:

   • $(0;1)$: Открытый интервал от $0$ до $1$, не включая ни $0$, ни $1$.
   • $(0;1]$: Полуоткрытый интервал от $0$ до $1$, включая $1$, но не включая $0$.

2. Суть доказательства: Найдём биекцию $f : (0;1) \to (0;1]$, то есть отображение, которое каждой точке из $(0;1)$ ставит в соответствие точку из $(0;1]$.

3. Конструкция отображения: Рассмотрим отображение:

   \begin{cases} x, & \text{если } x \neq \frac{1}{2}, \\ 1, & \text{если } x = \frac{1}{2}. \end{cases}$$ А также обратное отображение: $$g(y) = \begin{cases} y, & \text{если } y \neq 1, \\ \frac{1}{2}, & \text{если } y = 1. \end{cases}$$

4. Проверка биекции:

   • $f(x)$ отображает $(0;1)$ на $(0;1]$:
     • Все $x \in (0;1), x \neq \frac{1}{2}$, переходят в себя, а $x = \frac{1}{2}$ переходит в точку $1$, которая есть в $(0;1]$.
   • $g(y)$ обратимо возвращает точки из $(0;1]$ в $(0;1)$:
     • Все точки $y \neq 1$ остаются на месте, а $y = 1$ возвращается в точку $x = \frac{1}{2}$.

5. Вывод: Отображение $f$ является биекцией между $(0;1)$ и $(0;1]$. Следовательно, множества $(0;1)$ и $(0;1]$ эквивалентны.

---

Вопросы для дальнейшего изучения:

1. Как доказать эквивалентность между $(0;1]$ и $[0;1)$?
2. В чем разница между счётной и континуальной мощностью?
3. Какие еще интервалы обладают такой же мощностью, как $(0;1)$?
4. Как определить биекцию между конечным и бесконечным множествами?
5. Как понять, что множество $(0;1]$ имеет ту же мощность, что и $(0;+\infty)$?

Совет:

При доказательстве эквивалентности множеств используйте конкретные биекции, так как это наиболее ясный способ показать равенство их мощностей.