Mari kita tetapkan suatu relasi $R$ pada himpunan bilangan real $X = \mathbb{R}$. Relasi ini akan dibentuk dengan aturan atau syarat tertentu yang akan menentukan bagaimana dua elemen dalam $X$ saling berhubungan. Berikut adalah salah satu contoh aturan yang bisa digunakan, yang sesuai untuk tingkat mahasiswa:

Aturan Relasi $R$ pada $X$

Kita definisikan relasi $R$ pada $X = \mathbb{R}$ sebagai berikut: $R = \{ (a, b) \in X \times X \mid a - b \in \mathbb{Z} \}$ dengan syarat:

1. Dua bilangan real $a$ dan $b$ berada dalam relasi $R$ jika dan hanya jika selisih $a - b$ adalah bilangan bulat.

Dengan aturan ini, kita memiliki syarat yang menjelaskan bagaimana dua elemen $a$ dan $b$ dalam $X$ dapat berhubungan satu sama lain melalui relasi $R$.

Penjelasan Sifat Relasi $R$

Mari kita lihat beberapa sifat yang relevan dari relasi $R$:

1. Refleksif: Relasi $R$ adalah refleksif, karena untuk setiap $a \in X$, kita memiliki $a - a = 0$, dan 0 adalah bilangan bulat. Oleh karena itu, $(a, a) \in R$ untuk setiap $a \in X$.

2. Simetris: Relasi $R$ adalah simetris, karena jika $(a, b) \in R$, maka $a - b$ adalah bilangan bulat. Artinya, $b - a = -(a - b)$ juga bilangan bulat, sehingga $(b, a) \in R$.

3. Transitif: Relasi $R$ adalah transitif, karena jika $(a, b) \in R$ dan $(b, c) \in R$, maka $a - b$ dan $b - c$ adalah bilangan bulat. Karena jumlah dua bilangan bulat juga merupakan bilangan bulat, maka $a - c = (a - b) + (b - c)$ adalah bilangan bulat, sehingga $(a, c) \in R$.

Oleh karena itu, relasi $R$ memenuhi ketiga sifat ini (refleksif, simetris, dan transitif), sehingga $R$ adalah relasi kesetaraan pada himpunan bilangan real $X$.

Interpretasi Relasi $R$

Relasi ini mengelompokkan bilangan-bilangan real ke dalam kelas-kelas kesetaraan, di mana setiap kelas kesetaraan terdiri dari bilangan-bilangan real yang berbeda sebesar suatu bilangan bulat. Misalnya, semua bilangan yang berelasi dengan bilangan real $a$ adalah bilangan-bilangan dari bentuk $a + k$, dengan $k \in \mathbb{Z}$.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan?

---

Pertanyaan terkait:

1. Apa contoh dari kelas-kelas kesetaraan yang dibentuk oleh relasi ini?
2. Mengapa relasi ini disebut sebagai relasi kesetaraan?
3. Bagaimana relasi ini dapat diterapkan dalam konteks fungsi periodik?
4. Bagaimana cara membuktikan bahwa relasi ini refleksif, simetris, dan transitif secara formal?
5. Apakah ada relasi lain pada himpunan bilangan real yang juga membentuk relasi kesetaraan?

Tip:

Dalam matematika, relasi kesetaraan sangat berguna untuk mengelompokkan elemen dalam himpunan ke dalam kelas-kelas yang memiliki sifat atau karakteristik yang sama.