Untuk membentuk relasi antar anggota dalam himpunan $X$, dengan asumsi bahwa $X$ adalah himpunan bilangan real ($\mathbb{R}$), kita dapat mendefinisikan sebuah relasi berdasarkan aturan tertentu yang sesuai untuk tingkat mahasiswa. Berikut adalah contoh aturan yang bisa kita gunakan:

Aturan Relasi: Misalkan kita definisikan relasi $R$ pada himpunan $X$ sedemikian rupa sehingga untuk dua bilangan real $a$ dan $b$ dalam $X$, $a \, R \, b$ berlaku jika dan hanya jika $a - b \in \mathbb{Z}$, dimana $\mathbb{Z}$ adalah himpunan bilangan bulat.

Interpretasi: Relasi ini menyatakan bahwa dua bilangan real $a$ dan $b$ memiliki hubungan $R$ jika selisihnya merupakan bilangan bulat. Dengan kata lain, $a$ dan $b$ memiliki hubungan relasi jika $a$ dan $b$ berbeda hanya dalam kelipatan bilangan bulat.

Contoh:

• Misalkan $a = 2.5$ dan $b = 3.5$. Maka $a - b = 2.5 - 3.5 = -1$, yang merupakan bilangan bulat. Jadi, $a \, R \, b$ berlaku.
• Namun, jika $a = 2.5$ dan $b = 3.2$, maka $a - b = 2.5 - 3.2 = -0.7$, yang bukan bilangan bulat, sehingga $a \, R \, b$ tidak berlaku.

Sifat-Sifat Relasi:

1. Refleksif: Karena $a - a = 0$ (yang merupakan bilangan bulat), relasi $R$ bersifat refleksif, yakni setiap elemen memiliki hubungan dengan dirinya sendiri.
2. Simetris: Jika $a \, R \, b$, maka $b \, R \, a$ karena $a - b$ adalah bilangan bulat, yang berarti $b - a$ juga bilangan bulat.
3. Transitif: Jika $a \, R \, b$ dan $b \, R \, c$, maka $a - b$ dan $b - c$ adalah bilangan bulat, sehingga $(a - b) + (b - c) = a - c$ juga bilangan bulat. Jadi, $a \, R \, c$ berlaku.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau contoh tambahan mengenai relasi ini?

Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana menentukan relasi lain pada himpunan bilangan real yang bersifat refleksif tetapi tidak simetris?
2. Apa saja contoh relasi yang mungkin memenuhi syarat transitif tetapi tidak refleksif?
3. Bagaimana membuktikan bahwa relasi tertentu adalah relasi ekuivalensi?
4. Dapatkah relasi ini diterapkan dalam konteks himpunan selain bilangan real, seperti himpunan bilangan bulat?
5. Apa perbedaan antara relasi simetri dan relasi antisimetri pada himpunan?

Tip: Untuk membuktikan bahwa suatu relasi adalah relasi ekuivalensi, periksa sifat refleksif, simetris, dan transitif.