Để chứng minh bài toán, ta áp dụng định lý Dirichlet trong lý thuyết số. Nội dung định lý Dirichlet được tóm tắt như sau:

---

Định lý Dirichlet:

Cho $\alpha$ là một số vô tỷ. Với mọi $a, b$ thoả mãn $0 < a < b < 1$, tồn tại một số nguyên $n$ sao cho phần thập phân của $n\alpha$ (ký hiệu là $\{n\alpha\}$) thỏa mãn: $a < \{n\alpha\} < b.$

---

Chứng minh:

1. Xét phần thập phân của dãy $n\alpha$: Xét dãy $\{n\alpha\} = n\alpha - \lfloor n\alpha \rfloor$, với $n = 1, 2, 3, \dots$. Dãy này là các phần thập phân của các số $n\alpha$, và luôn nằm trong đoạn $[0, 1)$.

2. Dùng tính chất vô tỷ của $\alpha$: Vì $\alpha$ là số vô tỷ, nên dãy $\{n\alpha\}$ là dãy không tuần hoàn và phân bố dày đặc trên đoạn $[0, 1)$ theo định lý Kronecker (hoặc tính chất dày đặc của các phần dư khi $\alpha$ vô tỷ).

3. Sử dụng dày đặc của dãy $\{n\alpha\}$: Tính chất dày đặc của $\{n\alpha\}$ trong $[0, 1)$ đảm bảo rằng với mọi khoảng mở $(a, b)$ (với $0 < a < b < 1$), luôn tồn tại ít nhất một số nguyên $n$ sao cho $\{n\alpha\} \in (a, b)$.

4. Kết luận: Vì khoảng $(a, b)$ bất kỳ được cho là mở và dãy $\{n\alpha\}$ phân bố dày đặc, ta suy ra tồn tại số nguyên $n > 0$ sao cho: $a < \{n\alpha\} < b.$

---

Lời giải kết thúc ở đây. Định lý được chứng minh.

Bạn có muốn tôi giải thích chi tiết hơn hoặc mở rộng thêm ví dụ minh họa không?

---

Câu hỏi mở rộng:

1. Tại sao số vô tỷ lại quan trọng trong định lý Dirichlet?
2. Làm thế nào để chứng minh dãy $\{n\alpha\}$ phân bố dày đặc trên $[0, 1)$?
3. Điều gì xảy ra nếu $\alpha$ là số hữu tỷ? Kết quả có còn đúng không?
4. Định lý Dirichlet có ứng dụng gì trong lý thuyết số và mật mã học?
5. Có thể xây dựng thuật toán để tìm số $n$ thỏa mãn bài toán không?

---

Tip: Khi làm việc với số vô tỷ, luôn kiểm tra tính chất phân bố dày đặc của chúng để giải quyết các bài toán liên quan đến chuỗi số hoặc phần thập phân.