Задача состоит из двух частей: доказательства того, что данная линия лежит на конусе, и нахождения кривизны и кручения этой линии.

1. Доказательство того, что линия лежит на конусе.

Даны параметры: $x = e(t \sqrt{2}) \cos t, \quad y = e(t \sqrt{2}) \sin t, \quad z = e(t \sqrt{2})$ Нам нужно доказать, что эта линия лежит на конусе с уравнением: $x^2 + y^2 = z^2.$

1.1. Подставим выражения для $x$, $y$ и $z$ в уравнение конуса:

$x^2 + y^2 = (e(t \sqrt{2}) \cos t)^2 + (e(t \sqrt{2}) \sin t)^2$ $= e^2(t \sqrt{2}) (\cos^2 t + \sin^2 t) = e^2(t \sqrt{2}).$

А для $z^2$ имеем:

$z^2 = (e(t \sqrt{2}))^2 = e^2(t \sqrt{2}).$

Таким образом, получаем:

$x^2 + y^2 = z^2.$

Это и доказывает, что линия действительно лежит на конусе.

2. Нахождение угла между касательной к линии и образующими конуса.

Для этого нужно найти производные параметрических функций, чтобы получить вектор касательной.

2.1. Найдем производные $x'(t)$, $y'(t)$ и $z'(t)$:

$x'(t) = \frac{d}{dt} \left( e(t \sqrt{2}) \cos t \right) = e(t \sqrt{2}) \left( \cos t - t \sqrt{2} \sin t \right),$ $y'(t) = \frac{d}{dt} \left( e(t \sqrt{2}) \sin t \right) = e(t \sqrt{2}) \left( \sin t + t \sqrt{2} \cos t \right),$ $z'(t) = \frac{d}{dt} \left( e(t \sqrt{2}) \right) = e(t \sqrt{2}) t \sqrt{2}.$

Теперь найдем угол между касательной и образующей конуса. Образующая конуса — это вектор, направленный вдоль оси $z$, т.е. вектор $(0, 0, 1)$. Угол между векторами определяется через скалярное произведение:

$\cos \theta = \frac{\vec{T} \cdot \vec{G}}{|\vec{T}| |\vec{G}|},$ где $\vec{T} = (x'(t), y'(t), z'(t))$ — вектор касательной, а $\vec{G} = (0, 0, 1)$ — вектор, направленный вдоль образующей конуса.

Скалярное произведение: $\vec{T} \cdot \vec{G} = x'(t) \cdot 0 + y'(t) \cdot 0 + z'(t) \cdot 1 = z'(t).$

Теперь определим длину вектора касательной:

$|\vec{T}| = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2}.$

Подставляем в формулу для угла:

$\cos \theta = \frac{z'(t)}{|\vec{T}|}.$

Так как мы знаем, что угол между касательной и образующей должен быть равен $45^\circ$, то $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$, что даёт:

$\frac{z'(t)}{|\vec{T}|} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$

Это условие позволяет решить уравнение и найти соответствующее значение параметра $t$.

3. Нахождение кривизны и кручения линии.

3.1. Кривизна $\kappa(t)$ вычисляется по формуле:

$\kappa(t) = \frac{|\vec{T}'(t)|}{|\vec{T}(t)|}.$

Здесь $\vec{T}(t)$ — вектор касательной, а $\vec{T}'(t)$ — его производная.

3.2. Кручение $\tau(t)$ вычисляется по формуле:

$\tau(t) = \frac{\vec{T}(t) \times \vec{T}'(t) \cdot \vec{T}''(t)}{|\vec{T}(t) \times \vec{T}'(t)|^2}.$

Вам нужно вычислить производные второго порядка и подставить в эти формулы, чтобы получить точные значения кривизны и кручения.