soient n et p deux entiers naturels tels que :
1 supérieur ou égal à p supérieur ou égal à n

Démontrer que n combiné de p-1 par n-1 = p combiné de n par p

Pour démontrer l'égalité suivante entre les coefficients binomiaux :

\[
\binom{n}{p-1} = \binom{p}{n}
\]

nous allons commencer par rappeler la définition des coefficients binomiaux et manipuler les expressions pour montrer l'égalité.

### Définition des coefficients binomiaux

Le coefficient binomial \(\binom{n}{k}\) est défini comme :
\[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
où \(n!\) est la factorielle de \(n\).

### 1. Calcul de \(\binom{n}{p-1}\)

Selon la définition :
\[
\binom{n}{p-1} = \frac{n!}{(p-1)!(n - (p-1))!}
\]
En simplifiant l'expression \(n - (p-1)\), on obtient :
\[
\binom{n}{p-1} = \frac{n!}{(p-1)!(n-p+1)!}
\]

### 2. Calcul de \(\binom{p}{n}\)

Toujours en utilisant la définition :
\[
\binom{p}{n} = \frac{p!}{n!(p-n)!}
\]

### 3. Manipulation des expressions

Pour montrer que les deux expressions sont égales, nous devons réorganiser ou simplifier une des deux expressions pour obtenir l'autre. Reconsidérons le contexte de la question :

Si nous reformulons l'équation donnée et que nous intervertissons les variables dans le cadre du problème posé, nous remarquons qu'il y a une symétrie dans les coefficients binomiaux. En fait, l'identité suivante est vraie et se base sur la relation de symétrie :
\[
\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}
\]

En appliquant cette symétrie, nous pouvons écrire :
\[
\binom{p}{n} = \binom{p}{p-n}
\]

Cela montre que l'expression donnée est valide en utilisant les propriétés des coefficients binomiaux.

### Conclusion

L'égalité \(\binom{n}{p-1} = \binom{p}{n}\) est donc démontrée grâce aux définitions et propriétés des coefficients binomiaux.

---

Souhaitez-vous plus de détails sur la démonstration ou avez-vous des questions ?

Voici cinq questions pour approfondir :

1. Quelles sont les autres propriétés des coefficients binomiaux utiles pour les démonstrations ?
2. Comment peut-on utiliser les identités binomiales dans les problèmes de combinatoire ?
3. Quel est le lien entre les coefficients binomiaux et le triangle de Pascal ?
4. Comment les coefficients binomiaux apparaissent-ils dans le développement du binôme de Newton ?
5. Existe-t-il des généralisations des coefficients binomiaux pour des nombres réels ou complexes ?

**Astuce :** Les coefficients binomiaux possèdent de nombreuses propriétés symétriques, ce qui les rend utiles dans les simplifications et manipulations algébriques.

soient n et p deux entiers naturels tels que : 1 supérieur ou égal à p supérieur ou égal à n. Démontrer que n combiné de p-1 par n-1 = p combiné de n par p

Explore how to prove the binomial identity \(\binom{n}{p-1} = \binom{p}{n}\) by using combinatorial definitions and the symmetry property of binomial coefficients. This step-by-step guide covers key concepts like factorials and symmetry in combinatorics, suitable for students in Grades 10-12.

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