Math Problem Statement
Buktikan sifat harga mutlak dari |x|≤a
Solution
Sifat harga mutlak adalah pernyataan bahwa nilai mutlak dari tidak lebih besar dari , di mana adalah bilangan positif (). Kita akan membuktikan sifat ini dengan cara menganalisis definisi nilai mutlak.
Bukti:
Definisi nilai mutlak:
\begin{cases} x, & \text{jika } x \geq 0, \\ -x, & \text{jika } x < 0. \end{cases}$$ Pernyataan yang ingin dibuktikan adalah: $$|x| \leq a \iff -a \leq x \leq a.$$ 1. **Kasus 1: Jika $$x \geq 0$$** Ketika $$x \geq 0$$, maka $$|x| = x$$. Pernyataan $$|x| \leq a$$ menjadi: $$x \leq a,$$ yang sesuai dengan bagian kanan ketidaksamaan $$-a \leq x \leq a$$ karena $$x \geq 0$$ secara otomatis memenuhi $$x \geq -a$$. 2. **Kasus 2: Jika $$x < 0$$** Ketika $$x < 0$$, maka $$|x| = -x$$. Pernyataan $$|x| \leq a$$ menjadi: $$-x \leq a \implies x \geq -a,$$ yang sesuai dengan bagian kiri ketidaksamaan $$-a \leq x \leq a$$ karena $$x < 0$$ secara otomatis memenuhi $$x \leq a$$. Dari kedua kasus tersebut, kita mendapatkan bahwa: $$|x| \leq a \iff -a \leq x \leq a.$$ **Kesimpulan**: Sifat $$|x| \leq a$$ terbukti benar karena ekuivalen dengan $$-a \leq x \leq a$$. --- Apakah Anda memiliki pertanyaan atau butuh penjelasan tambahan? Berikut 5 pertanyaan terkait: 1. Bagaimana sifat nilai mutlak $$|x| \geq a$$ dapat dibuktikan? 2. Bagaimana implementasi sifat nilai mutlak dalam penyelesaian pertidaksamaan? 3. Apakah ada aplikasi sifat ini dalam analisis matematis lainnya? 4. Dapatkah nilai $$a$$ bernilai negatif dalam sifat ini? 5. Apa hubungan sifat nilai mutlak dengan jarak pada garis bilangan? **Tip**: Ingat bahwa sifat dasar nilai mutlak sangat berguna dalam memodelkan jarak antara dua titik pada garis bilangan!Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Absolute Value
Inequalities
Algebra
Formulas
|x| = x if x ≥ 0, -x if x < 0
|x| ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a
Theorems
Absolute Value Property for Inequalities
Suitable Grade Level
Grades 10-12
Related Recommendation
Proof: If a ≥ 0 then |x| ≤ a if and only if -a ≤ x ≤ a
Proof of |x| ≤ a iff -a ≤ x ≤ a for a ≥ 0
Prove |sin(a)| ≤ |a|: A Trigonometric Inequality with Calculus Insights
Proof of Inequality |√a - √b| ≤ √|a - b| Using Square Roots and Absolute Values
Proving the Inequality |a - b| ≥ |a| - |b| Using the Triangle Inequality