докажите что 3^(2n)-1 делится на 2^(n+2) с помощью математической индукции

Докажем, что \( 3^{2n} - 1 \) делится на \( 2^{n+2} \) с помощью метода математической индукции.

**База индукции (n = 1):**

Для \( n = 1 \), подставим в выражение:

\[
3^{2 \cdot 1} - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8
\]

Проверим, делится ли \( 8 \) на \( 2^{1+2} = 2^3 = 8 \):

\[
8 \div 8 = 1
\]

Таким образом, утверждение верно для \( n = 1 \).

**Индукционное предположение:**

Предположим, что утверждение верно для некоторого \( n = k \), то есть:

\[
3^{2k} - 1 \text{ делится на } 2^{k+2},
\]

то есть существует такое целое число \( m \), что:

\[
3^{2k} - 1 = m \cdot 2^{k+2}.
\]

**Шаг индукции:**

Теперь докажем, что утверждение верно для \( n = k + 1 \). Для этого рассмотрим выражение:

\[
3^{2(k+1)} - 1 = 3^{2k+2} - 1 = 3^{2k} \cdot 3^2 - 1 = 9 \cdot 3^{2k} - 1.
\]

Перепишем это выражение:

\[
9 \cdot 3^{2k} - 1 = (8 \cdot 3^{2k}) + (3^{2k} - 1).
\]

По индукционному предположению, \( 3^{2k} - 1 \) делится на \( 2^{k+2} \), то есть:

\[
3^{2k} - 1 = m \cdot 2^{k+2}.
\]

Тогда получаем:

\[
9 \cdot 3^{2k} - 1 = 8 \cdot 3^{2k} + m \cdot 2^{k+2}.
\]

Теперь рассмотрим первое слагаемое \( 8 \cdot 3^{2k} \). Очевидно, что \( 8 = 2^3 \), и тогда:

\[
8 \cdot 3^{2k} = 2^3 \cdot 3^{2k}.
\]

Это выражение делится на \( 2^{k+3} \). Таким образом, оба слагаемых \( 8 \cdot 3^{2k} \) и \( m \cdot 2^{k+2} \) делятся на \( 2^{k+3} \), что означает, что \( 9 \cdot 3^{2k} - 1 \) также делится на \( 2^{(k+1)+2} = 2^{k+3} \).

Следовательно, шаг индукции выполнен.

**Заключение:**

Мы доказали утверждение методом математической индукции, а именно, что \( 3^{2n} - 1 \) делится на \( 2^{n+2} \) для всех \( n \geq 1 \).

---

Есть ли вопросы или нужно что-то пояснить?

Вот 5 вопросов для расширения темы:

1. Как можно модифицировать это доказательство для других степеней, например \( 3^{3n} - 1 \)?
2. Какие еще типы индукции существуют, помимо обычной математической индукции?
3. Как можно использовать индукцию для доказательства неравенств?
4. Как применяется метод индукции в комбинированных задачах, например в комбинаторике?
5. Можете ли вы привести примеры задач, где математическая индукция используется в геометрии?

**Совет:** всегда начинайте доказательства индукцией с четкого формулирования базы, чтобы последующие шаги были построены на твердом основании!

Explore the proof that 3^(2n) - 1 is divisible by 2^(n+2) using mathematical induction. This detailed solution covers core concepts in exponential functions and divisibility, suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation