Math Problem Statement

докажите что 3^(2n)-1 делится на 2^(n+2) с помощью математической индукции

Solution

Докажем, что 32n13^{2n} - 1 делится на 2n+22^{n+2} с помощью метода математической индукции.

База индукции (n = 1):

Для n=1n = 1, подставим в выражение:

3211=321=91=83^{2 \cdot 1} - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8

Проверим, делится ли 88 на 21+2=23=82^{1+2} = 2^3 = 8:

8÷8=18 \div 8 = 1

Таким образом, утверждение верно для n=1n = 1.

Индукционное предположение:

Предположим, что утверждение верно для некоторого n=kn = k, то есть:

32k1 делится на 2k+2,3^{2k} - 1 \text{ делится на } 2^{k+2},

то есть существует такое целое число mm, что:

32k1=m2k+2.3^{2k} - 1 = m \cdot 2^{k+2}.

Шаг индукции:

Теперь докажем, что утверждение верно для n=k+1n = k + 1. Для этого рассмотрим выражение:

32(k+1)1=32k+21=32k321=932k1.3^{2(k+1)} - 1 = 3^{2k+2} - 1 = 3^{2k} \cdot 3^2 - 1 = 9 \cdot 3^{2k} - 1.

Перепишем это выражение:

932k1=(832k)+(32k1).9 \cdot 3^{2k} - 1 = (8 \cdot 3^{2k}) + (3^{2k} - 1).

По индукционному предположению, 32k13^{2k} - 1 делится на 2k+22^{k+2}, то есть:

32k1=m2k+2.3^{2k} - 1 = m \cdot 2^{k+2}.

Тогда получаем:

932k1=832k+m2k+2.9 \cdot 3^{2k} - 1 = 8 \cdot 3^{2k} + m \cdot 2^{k+2}.

Теперь рассмотрим первое слагаемое 832k8 \cdot 3^{2k}. Очевидно, что 8=238 = 2^3, и тогда:

832k=2332k.8 \cdot 3^{2k} = 2^3 \cdot 3^{2k}.

Это выражение делится на 2k+32^{k+3}. Таким образом, оба слагаемых 832k8 \cdot 3^{2k} и m2k+2m \cdot 2^{k+2} делятся на 2k+32^{k+3}, что означает, что 932k19 \cdot 3^{2k} - 1 также делится на 2(k+1)+2=2k+32^{(k+1)+2} = 2^{k+3}.

Следовательно, шаг индукции выполнен.

Заключение:

Мы доказали утверждение методом математической индукции, а именно, что 32n13^{2n} - 1 делится на 2n+22^{n+2} для всех n1n \geq 1.


Есть ли вопросы или нужно что-то пояснить?

Вот 5 вопросов для расширения темы:

  1. Как можно модифицировать это доказательство для других степеней, например 33n13^{3n} - 1?
  2. Какие еще типы индукции существуют, помимо обычной математической индукции?
  3. Как можно использовать индукцию для доказательства неравенств?
  4. Как применяется метод индукции в комбинированных задачах, например в комбинаторике?
  5. Можете ли вы привести примеры задач, где математическая индукция используется в геометрии?

Совет: всегда начинайте доказательства индукцией с четкого формулирования базы, чтобы последующие шаги были построены на твердом основании!

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Mathematical Induction
Exponential Functions
Divisibility

Formulas

3^(2n) - 1
2^(n+2)

Theorems

Principle of Mathematical Induction

Suitable Grade Level

Grades 10-12