Math Problem Statement
докажите что 3^(2n)-1 делится на 2^(n+2) с помощью математической индукции
Solution
Докажем, что делится на с помощью метода математической индукции.
База индукции (n = 1):
Для , подставим в выражение:
Проверим, делится ли на :
Таким образом, утверждение верно для .
Индукционное предположение:
Предположим, что утверждение верно для некоторого , то есть:
то есть существует такое целое число , что:
Шаг индукции:
Теперь докажем, что утверждение верно для . Для этого рассмотрим выражение:
Перепишем это выражение:
По индукционному предположению, делится на , то есть:
Тогда получаем:
Теперь рассмотрим первое слагаемое . Очевидно, что , и тогда:
Это выражение делится на . Таким образом, оба слагаемых и делятся на , что означает, что также делится на .
Следовательно, шаг индукции выполнен.
Заключение:
Мы доказали утверждение методом математической индукции, а именно, что делится на для всех .
Есть ли вопросы или нужно что-то пояснить?
Вот 5 вопросов для расширения темы:
- Как можно модифицировать это доказательство для других степеней, например ?
- Какие еще типы индукции существуют, помимо обычной математической индукции?
- Как можно использовать индукцию для доказательства неравенств?
- Как применяется метод индукции в комбинированных задачах, например в комбинаторике?
- Можете ли вы привести примеры задач, где математическая индукция используется в геометрии?
Совет: всегда начинайте доказательства индукцией с четкого формулирования базы, чтобы последующие шаги были построены на твердом основании!
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Mathematical Induction
Exponential Functions
Divisibility
Formulas
3^(2n) - 1
2^(n+2)
Theorems
Principle of Mathematical Induction
Suitable Grade Level
Grades 10-12