Um grupo de 6 amigos sentam-se numa mesa redonda. Qual é a probabilidade de que dois deles, $A$ e $B$, fiquem um ao lado do outro?

Vamos resolver o problema de calcular a probabilidade de que dois amigos $ A $ e $ B $ fiquem lado a lado numa mesa redonda com 6 amigos.

### Passo 1: Total de Arranjos Possíveis

Primeiro, determinamos o número total de maneiras de dispor os 6 amigos em uma mesa redonda. Para isso, consideramos que fixar um amigo em uma posição específica elimina a simetria rotacional, deixando $ (6-1)! = 5! $ arranjos distintos.

\[
5! = 120
\]

### Passo 2: Arranjos Favoráveis

Agora, calculamos o número de arranjos onde $ A $ e $ B $ estão lado a lado. Podemos considerar $ A $ e $ B $ como uma unidade, formando um "bloco". Assim, temos 5 unidades para organizar (o bloco $ AB $ e os outros 4 amigos).

O número de maneiras de organizar esses 5 blocos em uma mesa redonda é:

\[
(5-1)! = 4! = 24
\]

Dentro do bloco $ AB $, $ A $ e $ B $ podem trocar de lugar, então há 2 permutações possíveis para cada arranjo do bloco.

O número total de arranjos favoráveis é, então:

\[
4! \times 2 = 24 \times 2 = 48
\]

### Passo 3: Cálculo da Probabilidade

A probabilidade de $ A $ e $ B $ estarem lado a lado é a razão entre o número de arranjos favoráveis e o número total de arranjos possíveis:

\[
\text{Probabilidade} = \frac{\text{Número de arranjos favoráveis}}{\text{Número total de arranjos}} = \frac{48}{120} = \frac{2}{5}
\]

### Resposta

A probabilidade de que $ A $ e $ B $ fiquem um ao lado do outro é $ \frac{2}{5} $ ou 40%.

Se precisar de mais detalhes ou tiver alguma pergunta, sinta-se à vontade para perguntar!

Aqui estão 5 perguntas que você pode fazer:
1. Como se calcula a probabilidade de outros eventos em combinatória?
2. Como o conceito de permutação circular difere de uma permutação linear?
3. Qual é a probabilidade de três amigos específicos sentarem-se juntos em uma mesa redonda?
4. Como se resolve problemas de arranjos com restrições específicas, como sentar em lugares específicos?
5. O que são combinações e como elas se aplicam em problemas de probabilidade?

**Dica:** Em problemas de combinatória e probabilidade, visualizar o problema e usar diagramas pode ajudar a entender melhor a configuração dos elementos.

Calculate the probability of two friends, A and B, sitting together in a round table arrangement of 6 friends. Understand the total arrangements, favorable arrangements, and compute the probability step-by-step. Suitable for advanced high school students and beyond.

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