Рассмотрим задачу поэтапно:

1. Условие задачи:

   • Всего вопросов: $20$.
   • Студент знает $15$ вопросов.
   • Экзаменатор выбирает два разных вопроса.

2. Нужно найти вероятность, что оба выбранных вопроса студент знает.

---

Решение

1. Общее количество способов выбрать 2 вопроса из 20:
   Это число сочетаний из 20 по 2, которое вычисляется по формуле:
   $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}, \text{ где } n = 20, k = 2.$
   Подставляем:
   $C(20, 2) = \frac{20 \cdot 19}{2 \cdot 1} = 190.$
   Таким образом, всего $190$ способов выбрать два вопроса из 20.

2. Количество благоприятных исходов:
   Поскольку студент знает $15$ вопросов, количество способов выбрать 2 вопроса из тех, которые он знает:
   $C(15, 2) = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 105.$
   Таким образом, всего $105$ способов выбрать два вопроса, которые студент знает.

3. Вероятность события:
   Вероятность того, что оба вопроса студент знает, — это отношение количества благоприятных исходов к общему числу исходов:
   $P = \frac{C(15, 2)}{C(20, 2)}.$
   Подставляем найденные значения:
   $P = \frac{105}{190}.$
   Сократим дробь:
   $P = \frac{21}{38}.$

---

Ответ:

Вероятность того, что студент знает оба вопроса, составляет $\frac{21}{38} \approx 0,55$ (или $55\%$).

---

Хотите подробное объяснение какого-либо шага или альтернативный метод решения?

---

Дополнительные вопросы:

1. Какова вероятность, что студент знает хотя бы один из двух вопросов?
2. Как изменится вероятность, если студент знает 10 из 20 вопросов?
3. Какова вероятность, что студент не знает ни одного вопроса?
4. Если экзаменатор задает 3 вопроса, какова вероятность, что студент знает все три?
5. Какова вероятность, что студент знает ровно один из двух заданных вопросов?

Совет:

При решении задач на вероятность важно правильно определять общее количество исходов и благоприятные исходы с использованием формул комбинаторики.