Um livro de jogos de azar recomenda a seguinte "estratégia de vitória"para o jogo de roleta: aposte R$1,00 no vermelho. Se der vermelho (o que tem probabilidade de ocorrer), pegue o lucro de R$1,00 e desista. Se o vermelho não aparecer e você perder a aposta (o que tem probabilidade de de ocorrer), faça apostas adicionais de R$ 1,00 no vermelho em cada um dos próximos dois giros da roleta e então desista. Se X representa seu lucro quando você sair da mesa:
a) determine P[X > O]

Vamos analisar a estratégia descrita para o jogo de roleta e determinar a probabilidade $ P[X > 0] $, ou seja, a probabilidade de terminar com lucro.

### Informações básicas:
1. Na roleta europeia, existem 18 casas vermelhas, 18 casas pretas e 1 casa verde (o zero). Portanto, a probabilidade de acertar o vermelho em um único giro é:
   \[
   p = \frac{18}{37}
   \]
   e a probabilidade de não acertar o vermelho é:
   \[
   q = \frac{19}{37}
   \]

### Análise das situações possíveis:

1. **Ganha no primeiro giro:**
   - A probabilidade de ganhar no primeiro giro é $ p = \frac{18}{37} $.
   - Nesse caso, você sai com um lucro de R$1,00.

2. **Perde no primeiro giro, mas ganha no segundo:**
   - A probabilidade de perder no primeiro giro e ganhar no segundo é $ q \times p = \frac{19}{37} \times \frac{18}{37} $.
   - Nesse caso, você sai com um lucro de R$1,00.

3. **Perde nos dois primeiros giros, mas ganha no terceiro:**
   - A probabilidade de perder nos dois primeiros giros e ganhar no terceiro é $ q^2 \times p = \left(\frac{19}{37}\right)^2 \times \frac{18}{37} $.
   - Nesse caso, você sai com um lucro de R$1,00.

4. **Perde nos três primeiros giros:**
   - A probabilidade de perder nos três primeiros giros é $ q^3 = \left(\frac{19}{37}\right)^3 $.
   - Nesse caso, você sai com um prejuízo de R$3,00.

### Probabilidade de ter lucro:
Para ter lucro, você precisa ganhar em qualquer uma das três primeiras apostas. A probabilidade disso acontecer é a soma das probabilidades das três primeiras situações:

\[
P[X > 0] = p + q \times p + q^2 \times p
\]

Podemos fatorar $ p $:

\[
P[X > 0] = p \times (1 + q + q^2)
\]

Substituindo os valores de $ p $ e $ q $:

\[
P[X > 0] = \frac{18}{37} \times \left(1 + \frac{19}{37} + \left(\frac{19}{37}\right)^2\right)
\]

Calculando o valor:

\[
P[X > 0] \approx \frac{18}{37} \times \left(1 + 0{,}5135 + 0{,}2645\right)
\]

\[
P[X > 0] \approx \frac{18}{37} \times 1{,}778 = 0{,}864
\]

Portanto, a probabilidade de sair com lucro $ P[X > 0] $ é aproximadamente **0,864**, ou **86,4%**.

Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Aqui estão 5 perguntas relativas para expandir o conhecimento:

1. Como a estratégia muda se você decidir continuar apostando até ganhar?
2. Qual é o valor esperado $ E[X] $ desta estratégia de apostas?
3. Como a probabilidade de lucro muda se a roleta for americana (com duas casas verdes)?
4. Qual a probabilidade de terminar com prejuízo após 3 apostas?
5. Como a probabilidade de lucro mudaria se você dobrasse o valor da aposta após cada perda?

**Dica:** Estratégias de apostas como essa podem parecer vantajosas, mas é importante considerar a expectativa matemática e os riscos de perdas significativas.

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