3. Dalam proses pembuatan sebuah barang, kemungkinan barang yang dihasilkan cacat produksi (reject) akan selalu ada. Pada proses pengolahan rotan, paling tidak ada 8 tahap yang harus dilakukan mulai dari penyortiran, penggorengan, sampai tahap pembengkokan. Pada tahap pembengkokan, rotan akan dipanaskan dengan mesin tertentu untuk kemudian ditekan supaya menjadi bentuk yang diinginkan. Pada proses ini, rata-rata kemungkinan banyak rotan yang reject karena pecah, patah, atau sebab lain adalah 0,6%. Jika ada 4 mesin "X" yang beroperasi, kemudian hasil produksi masing-masing diambil satu buah. Tentukan peluang rotan yang terambil: 

a. seluruhnya baik,
b. seluruhnya reject,
c. paling sedikit 3 rotan yang seluruhnya baik, dan
d. paling banyak 1 rotan yang reject.

Untuk menyelesaikan soal ini, kita bisa menggunakan konsep peluang binomial. Peluang binomial digunakan ketika ada percobaan yang terdiri dari \( n \) percobaan independen, dan masing-masing percobaan memiliki dua hasil yang mungkin, yaitu sukses (baik) atau gagal (reject). 

### Diketahui:
- Peluang rotan reject, \( p = 0.006 \) (karena 0,6% = 0,006).
- Peluang rotan baik, \( q = 1 - p = 1 - 0.006 = 0.994 \).
- Jumlah mesin \( n = 4 \).

Setiap mesin memberikan satu hasil, sehingga ada 4 hasil yang diambil. Maka kita bisa menggunakan distribusi binomial untuk menghitung peluang yang diminta.

### a. Peluang seluruhnya baik
Untuk seluruhnya baik, berarti semua 4 rotan baik.

\[
P(X = 4) = \binom{4}{4} \times q^4 \times p^0 = 1 \times (0.994)^4 \times 1
\]

\[
P(X = 4) = (0.994)^4 \approx 0.9763
\]

### b. Peluang seluruhnya reject
Untuk seluruhnya reject, berarti semua 4 rotan reject.

\[
P(X = 0) = \binom{4}{0} \times q^0 \times p^4 = 1 \times 1 \times (0.006)^4
\]

\[
P(X = 0) = (0.006)^4 \approx 1.296 \times 10^{-10}
\]

### c. Peluang paling sedikit 3 rotan baik
Paling sedikit 3 rotan baik berarti kita mencari peluang \( P(X \geq 3) \), yang merupakan jumlah dari \( P(X = 3) \) dan \( P(X = 4) \).

\[
P(X = 3) = \binom{4}{3} \times q^3 \times p^1 = 4 \times (0.994)^3 \times 0.006
\]

\[
P(X = 3) \approx 4 \times 0.982 \times 0.006 \approx 0.0236
\]

\[
P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) \approx 0.0236 + 0.9763 = 0.9999
\]

### d. Peluang paling banyak 1 rotan reject
Paling banyak 1 rotan reject berarti kita mencari peluang \( P(X \leq 1) \), yang merupakan jumlah dari \( P(X = 0) \) dan \( P(X = 1) \).

\[
P(X = 1) = \binom{4}{1} \times q^3 \times p^1 = 4 \times (0.994)^3 \times 0.006 \approx 0.0236
\]

\[
P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) \approx 1.296 \times 10^{-10} + 0.0236 = 0.0236
\]

### Ringkasan Jawaban:
a. Peluang seluruhnya baik: \( \approx 0.9763 \)

b. Peluang seluruhnya reject: \( \approx 1.296 \times 10^{-10} \)

c. Peluang paling sedikit 3 rotan baik: \( \approx 0.9999 \)

d. Peluang paling banyak 1 rotan reject: \( \approx 0.0236 \)

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan? 

**Pertanyaan terkait:**
1. Bagaimana konsep distribusi binomial diterapkan dalam soal ini?
2. Apa perbedaan antara peluang "paling sedikit" dan "paling banyak" dalam konteks peluang?
3. Bagaimana cara menghitung kombinasi \( \binom{n}{k} \) dalam konteks distribusi binomial?
4. Bagaimana jika ada lebih dari 4 mesin, bagaimana peluangnya berubah?
5. Bagaimana jika peluang reject berubah menjadi 1%, bagaimana hasil peluangnya?

**Tip:** Dalam soal peluang, selalu perhatikan kata kunci seperti "seluruhnya", "paling sedikit", dan "paling banyak", karena ini sangat menentukan cara perhitungan.

Explore a probability problem involving the production process of rotan, focusing on calculating probabilities using binomial distribution. Learn how to determine the likelihood of various outcomes including all good, all reject, at least 3 good rotans, and at most 1 reject rotan.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation