Si un lote de productos tiene una tasa de defectos del 6% y se seleccionan 400 productos al azar para ser inspeccionados, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 24 de ellos estén defectuosos? Pregunta 42Respuesta a. 70% b. 55% c. 75% d. 60%

Para resolver este problema, utilizamos la distribución normal para aproximar la distribución binomial, dado que estamos tratando con un tamaño de muestra grande (400 productos) y una probabilidad de defecto relativamente pequeña (6%). Aquí están los pasos para resolver el problema:

1. **Definir los parámetros de la distribución binomial:**
   - \( n = 400 \) (número de productos seleccionados)
   - \( p = 0.06 \) (probabilidad de que un producto sea defectuoso)
   - \( q = 1 - p = 0.94 \)

2. **Calcular la media (\(\mu\)) y la desviación estándar (\(\sigma\)) de la distribución binomial:**
   - \( \mu = np = 400 \times 0.06 = 24 \)
   - \( \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{400 \times 0.06 \times 0.94} = \sqrt{22.56} \approx 4.75 \)

3. **Convertir el problema a una distribución normal estándar (z-score):**
   Queremos encontrar la probabilidad de que el número de productos defectuosos sea al menos 24, es decir, \( P(X \geq 24) \). Primero, convertimos \( X = 24 \) a un valor z:
   - \( z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{24 - 24}{4.75} = 0 \)

4. **Usar la tabla de la distribución normal estándar:**
   Buscamos la probabilidad de que \( Z \geq 0 \). Para \( Z = 0 \), la probabilidad es 0.5.

5. **Aplicar continuidad de la corrección:**
   Para una aproximación más precisa, usamos la corrección por continuidad:
   - \( z = \frac{23.5 - 24}{4.75} = \frac{-0.5}{4.75} \approx -0.105 \)

   Usamos la tabla de la distribución normal para encontrar la probabilidad asociada a \( z = -0.105 \):
   - La probabilidad acumulada para \( z = -0.105 \) es aproximadamente 0.458.

   Así que, la probabilidad de que \( X \geq 24 \) es:
   - \( P(X \geq 24) = 1 - P(Z < -0.105) = 1 - 0.458 = 0.542 \)

6. **Redondear al porcentaje más cercano:**
   - \( 0.542 \approx 54.2\% \)

Dado que ninguna de las opciones proporcionadas (70%, 55%, 75%, 60%) coincide exactamente con 54.2%, la opción más cercana es la opción b. 55%.

**Respuesta: b. 55%**

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

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**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Qué es la distribución binomial y cuándo se utiliza?
2. ¿Cómo se calcula la media de una distribución binomial?
3. ¿Qué es la desviación estándar y cómo se calcula en una distribución binomial?
4. ¿Qué es la aproximación normal de una distribución binomial y cuándo se aplica?
5. ¿Cómo se utiliza la corrección por continuidad en la aproximación normal?
6. ¿Qué son los z-scores y cómo se utilizan en la distribución normal?
7. ¿Qué información nos proporciona la tabla de distribución normal estándar?
8. ¿Por qué es importante considerar la probabilidad acumulada en problemas de distribución normal?

**Tip:** Cuando trabajes con distribuciones binomiales y necesites aproximaciones normales, asegúrate de que tanto \( np \) como \( nq \) sean mayores de 5 para que la aproximación sea válida.

Explore the calculation of probability using binomial distribution and normal approximation. Understand how to apply the central limit theorem to estimate the likelihood of defective products in a sample of 400 items with a 6% defect rate.

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