Para resolver este problema, utilizamos la distribución normal para aproximar la distribución binomial, dado que estamos tratando con un tamaño de muestra grande (400 productos) y una probabilidad de defecto relativamente pequeña (6%). Aquí están los pasos para resolver el problema:

1. Definir los parámetros de la distribución binomial:

   • $n = 400$ (número de productos seleccionados)
   • $p = 0.06$ (probabilidad de que un producto sea defectuoso)
   • $q = 1 - p = 0.94$

2. Calcular la media ($\mu$) y la desviación estándar ($\sigma$) de la distribución binomial:

   • $\mu = np = 400 \times 0.06 = 24$
   • $\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{400 \times 0.06 \times 0.94} = \sqrt{22.56} \approx 4.75$

3. Convertir el problema a una distribución normal estándar (z-score): Queremos encontrar la probabilidad de que el número de productos defectuosos sea al menos 24, es decir, $P(X \geq 24)$. Primero, convertimos $X = 24$ a un valor z:

   • $z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{24 - 24}{4.75} = 0$

4. Usar la tabla de la distribución normal estándar: Buscamos la probabilidad de que $Z \geq 0$. Para $Z = 0$, la probabilidad es 0.5.

5. Aplicar continuidad de la corrección: Para una aproximación más precisa, usamos la corrección por continuidad:

   • $z = \frac{23.5 - 24}{4.75} = \frac{-0.5}{4.75} \approx -0.105$

   Usamos la tabla de la distribución normal para encontrar la probabilidad asociada a $z = -0.105$:

   • La probabilidad acumulada para $z = -0.105$ es aproximadamente 0.458.

   Así que, la probabilidad de que $X \geq 24$ es:

   • $P(X \geq 24) = 1 - P(Z < -0.105) = 1 - 0.458 = 0.542$

6. Redondear al porcentaje más cercano:

   • $0.542 \approx 54.2\%$

Dado que ninguna de las opciones proporcionadas (70%, 55%, 75%, 60%) coincide exactamente con 54.2%, la opción más cercana es la opción b. 55%.

Respuesta: b. 55%

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

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Tip: Cuando trabajes con distribuciones binomiales y necesites aproximaciones normales, asegúrate de que tanto $np$ como $nq$ sean mayores de 5 para que la aproximación sea válida.