Σε ένα τμήμα το 0,2% των ανδρών και γυναικών είναι αριστερόχειρες. Οι γυναίκες αριστερόχειρες είναι 0,1%. Διαλέγω τυχαίο δείγμα 3000 γυναίκες και 5000 άνδρες. Ποια η πιθανότητα το πολύ 6 άνδρες και το πολύ 3 γυναίκες να είναι αριστερόχειρες;

Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα να υπάρχουν το πολύ 6 αριστερόχειρες άνδρες και το πολύ 3 αριστερόχειρες γυναίκες, θα χρησιμοποιήσουμε την κατανομή Poisson ως προσέγγιση για το πρόβλημα αυτό, δεδομένου ότι οι πιθανότητες αριστεροχειρίας είναι πολύ μικρές και το δείγμα αρκετά μεγάλο. Αυτό επιτρέπει την προσέγγιση της κατανομής binomial με την κατανομή Poisson.

### Βήμα 1: Υπολογισμός των μέσων τιμών (λ)
Η κατανομή Poisson χαρακτηρίζεται από τη μέση τιμή (λ), που προκύπτει από το γινόμενο του συνολικού αριθμού των ατόμων και της πιθανότητας για κάθε ομάδα.

#### Για τους άνδρες:
Πιθανότητα να είναι κάποιος άνδρας αριστερόχειρας: \(0,2\%\) ή \(0,002\).

Άρα, για 5000 άνδρες, ο αναμενόμενος αριθμός αριστερόχειρων ανδρών (λ_άνδρες) είναι:
\[
\lambda_{\text{άνδρες}} = 5000 \times 0,002 = 10
\]

#### Για τις γυναίκες:
Πιθανότητα να είναι κάποια γυναίκα αριστερόχειρας: \(0,1\%\) ή \(0,001\).

Άρα, για 3000 γυναίκες, ο αναμενόμενος αριθμός αριστερόχειρων γυναικών (λ_γυναίκες) είναι:
\[
\lambda_{\text{γυναίκες}} = 3000 \times 0,001 = 3
\]

### Βήμα 2: Υπολογισμός πιθανοτήτων με την κατανομή Poisson

Η πιθανότητα για \(k\) αριστερόχειρες με κατανομή Poisson είναι:
\[
P(k; \lambda) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
\]

#### Για τους άνδρες:
Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα να υπάρχουν το πολύ 6 αριστερόχειρες άνδρες, δηλαδή:
\[
P(X \leq 6) = P(0; 10) + P(1; 10) + P(2; 10) + P(3; 10) + P(4; 10) + P(5; 10) + P(6; 10)
\]

#### Για τις γυναίκες:
Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα να υπάρχουν το πολύ 3 αριστερόχειρες γυναίκες, δηλαδή:
\[
P(Y \leq 3) = P(0; 3) + P(1; 3) + P(2; 3) + P(3; 3)
\]

Θα υπολογίσω τώρα αυτές τις πιθανότητες.Οι υπολογισμοί μας δίνουν τα εξής αποτελέσματα:

- Η πιθανότητα να υπάρχουν το πολύ 6 αριστερόχειρες άνδρες είναι περίπου 13% (\(0.1301\)).
- Η πιθανότητα να υπάρχουν το πολύ 3 αριστερόχειρες γυναίκες είναι περίπου 64,7% (\(0.6472\)).
- Η συνολική πιθανότητα να υπάρχουν το πολύ 6 αριστερόχειρες άνδρες **και** το πολύ 3 αριστερόχειρες γυναίκες είναι περίπου 8,42% (\(0.0842\)).

Αν θέλεις περισσότερες λεπτομέρειες ή έχεις κάποια απορία, μη διστάσεις να ρωτήσεις!

### Σχετικές ερωτήσεις:
1. Πώς διαφοροποιείται η πιθανότητα αν αλλάξουμε το μέγεθος του δείγματος;
2. Πώς μπορεί να προσεγγιστεί το ίδιο πρόβλημα με την κατανομή binomial;
3. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ των κατανομών Poisson και binomial;
4. Τι θα συνέβαινε αν η πιθανότητα αριστεροχειρίας ήταν μεγαλύτερη;
5. Πώς θα άλλαζε η προσέγγιση αν είχαμε δείγμα μικρότερου μεγέθους;

#### Συμβουλή:
Όταν οι πιθανότητες είναι πολύ μικρές και το δείγμα μεγάλο, η κατανομή Poisson είναι συχνά πιο βολική από την binomial.

Calculate the probability of at most 6 left-handed men and 3 left-handed women from samples of 5000 men and 3000 women using Poisson distribution. This problem covers key probability concepts such as Poisson distribution and binomial approximation. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation