Diberikan bahwa kejadian $A$ dan $B$ saling bebas tetapi tidak lepas. Kita punya informasi:

• $P(A) = \frac{2}{5}$
• $P(A \cup B) = \frac{5}{8}$

Mari kita selesaikan satu per satu:

a. $P(B)$

Dari rumus peluang gabungan dua kejadian, kita punya:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Karena $A$ dan $B$ saling bebas, maka berlaku:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Substitusikan ke rumus peluang gabungan:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \times P(B)$

Dari sini, substitusikan nilai yang diketahui:

$\frac{5}{8} = \frac{2}{5} + P(B) - \left(\frac{2}{5} \times P(B)\right)$

Untuk menyelesaikan ini, kita substitusi dengan $x = P(B)$:

$\frac{5}{8} = \frac{2}{5} + x - \frac{2}{5}x$

Sekarang kita kurangi $\frac{2}{5}$ dari kedua sisi:

$\frac{5}{8} - \frac{2}{5} = x - \frac{2}{5}x$

Ubah pecahan dengan penyebut yang sama:

$\frac{25}{40} - \frac{16}{40} = x - \frac{2}{5}x$

$\frac{9}{40} = x(1 - \frac{2}{5})$

$\frac{9}{40} = x \times \frac{3}{5}$

Sekarang kita kalikan silang untuk menyelesaikan $x$:

$x = \frac{9}{40} \times \frac{5}{3} = \frac{9 \times 5}{40 \times 3} = \frac{45}{120} = \frac{3}{8}$

Jadi, $P(B) = \frac{3}{8}$.

b. $P(A \cap B)$

Karena kejadian $A$ dan $B$ saling bebas, kita punya:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{40} = \frac{3}{20}$

Jadi, $P(A \cap B) = \frac{3}{20}$.

c. $P(A' \cup B')$

Dari prinsip komplemen, kita tahu bahwa:

$P(A' \cup B') = 1 - P(A \cap B)$

Dengan menggunakan prinsip De Morgan, kita juga punya:

$P(A' \cup B') = 1 - P(A \cup B)$

Substitusikan nilai $P(A \cup B)$:

$P(A' \cup B') = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$

Jadi, $P(A' \cup B') = \frac{3}{8}$.

d. $P(A' \cap B')$

Dari prinsip komplemen untuk irisan dua kejadian, kita punya:

$P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B)$

Substitusikan nilai $P(A \cup B)$:

$P(A' \cap B') = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$

Jadi, $P(A' \cap B') = \frac{3}{8}$.

---

Kesimpulan:

• $P(B) = \frac{3}{8}$
• $P(A \cap B) = \frac{3}{20}$
• $P(A' \cup B') = \frac{3}{8}$
• $P(A' \cap B') = \frac{3}{8}$

Apakah Anda memerlukan penjelasan lebih lanjut mengenai salah satu langkah?

Berikut beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana menghitung peluang gabungan jika kejadian saling lepas?
2. Apa yang dimaksud dengan peluang komplemen suatu kejadian?
3. Bagaimana prinsip De Morgan digunakan dalam peluang?
4. Apa yang terjadi jika kejadian $A$ dan $B$ tidak saling bebas?
5. Bagaimana cara menentukan saling bebas atau tidak lepas dalam kejadian probabilistik?

Tip: Dalam kejadian yang saling bebas, hasil satu kejadian tidak memengaruhi hasil kejadian lainnya, sehingga peluang irisan adalah hasil kali peluang masing-masing kejadian.