Duas bolas são escolhidas aleatoriamente de uma
urna que contém 8 bolas brancas, 4 pretas e 2 laranjas.
Suponha que ganhemos 2, 00 para cada bola preta selecionada
e percamos 1, 00 para cada bola branca selecionada.
Suponha que X represente nosso ganho. Qual são
os valores possíveis de X e quais são as probabilidades
associadas a cada valor?

Vamos resolver o problema passo a passo.

### 1. Definindo o Problema
Temos uma urna com:
- 8 bolas brancas,
- 4 bolas pretas,
- 2 bolas laranjas.

Escolhemos duas bolas aleatoriamente da urna. Para cada bola preta selecionada, ganhamos R$2,00, e para cada bola branca selecionada, perdemos R$1,00. Vamos considerar que a bola laranja não afeta o ganho.

Se $X$ representa nosso ganho, precisamos determinar:
1. Os valores possíveis de $X$.
2. As probabilidades associadas a cada valor de $X$.

### 2. Possíveis combinações de bolas
Podemos escolher duas bolas, e existem diferentes combinações que podem resultar em diferentes valores para $X$:
1. **Duas bolas brancas (BB)**: Perda de R$1,00 por cada bola branca. Ganho: $X = -2$.
2. **Uma bola branca e uma bola preta (BP)**: Perda de R$1,00 por uma bola branca e ganho de R$2,00 por uma bola preta. Ganho: $X = 1$.
3. **Uma bola branca e uma bola laranja (BL)**: Perda de R$1,00 pela bola branca. Ganho: $X = -1$.
4. **Uma bola preta e uma bola laranja (PL)**: Ganho de R$2,00 pela bola preta. Ganho: $X = 2$.
5. **Duas bolas pretas (PP)**: Ganho de R$2,00 por cada bola preta. Ganho: $X = 4$.
6. **Duas bolas laranjas (LL)**: Não afeta o ganho. Ganho: $X = 0$.

### 3. Calculando as probabilidades

#### Probabilidade de selecionar duas bolas brancas (BB)
- Total de formas de selecionar 2 bolas brancas: $ \binom{8}{2} = 28 $
- Total de formas de selecionar 2 bolas quaisquer da urna: $ \binom{14}{2} = 91 $
- Probabilidade: $ P(X = -2) = \frac{28}{91} $

#### Probabilidade de selecionar uma bola branca e uma preta (BP)
- Total de formas de selecionar 1 bola branca e 1 preta: $ \binom{8}{1} \times \binom{4}{1} = 32 $
- Probabilidade: $ P(X = 1) = \frac{32}{91} $

#### Probabilidade de selecionar uma bola branca e uma laranja (BL)
- Total de formas de selecionar 1 bola branca e 1 laranja: $ \binom{8}{1} \times \binom{2}{1} = 16 $
- Probabilidade: $ P(X = -1) = \frac{16}{91} $

#### Probabilidade de selecionar uma bola preta e uma laranja (PL)
- Total de formas de selecionar 1 bola preta e 1 laranja: $ \binom{4}{1} \times \binom{2}{1} = 8 $
- Probabilidade: $ P(X = 2) = \frac{8}{91} $

#### Probabilidade de selecionar duas bolas pretas (PP)
- Total de formas de selecionar 2 bolas pretas: $ \binom{4}{2} = 6 $
- Probabilidade: $ P(X = 4) = \frac{6}{91} $

#### Probabilidade de selecionar duas bolas laranjas (LL)
- Total de formas de selecionar 2 bolas laranjas: $ \binom{2}{2} = 1 $
- Probabilidade: $ P(X = 0) = \frac{1}{91} $

### 4. Resumo dos valores de $X$ e suas probabilidades

| $X$  | Ganho | Probabilidade $P(X)$ |
|-------|-------|------------------------|
| -2    | -R$2,00 | $ \frac{28}{91} $ |
|  1    | R$1,00  | $ \frac{32}{91} $ |
| -1    | -R$1,00 | $ \frac{16}{91} $ |
|  2    | R$2,00  | $ \frac{8}{91} $  |
|  4    | R$4,00  | $ \frac{6}{91} $  |
|  0    | R$0,00  | $ \frac{1}{91} $  |

Esses são os valores possíveis de $X$ e as probabilidades associadas a cada um.

**Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida?**

### Perguntas Relativas
1. Como calcular a expectativa de ganho $E(X)$ com base nessas probabilidades?
2. Qual é a variância do ganho $X$?
3. Como a inclusão de bolas de outras cores poderia afetar a distribuição de probabilidades?
4. Qual seria a probabilidade se tirássemos 3 bolas em vez de 2?
5. Como a remoção de uma bola branca afetaria os resultados?

**Dica:** Quando trabalhando com probabilidades, é essencial contar corretamente os possíveis eventos e calcular as probabilidades condicionais quando necessário.

Explore the solution to a probability problem involving the selection of two balls from an urn containing white, black, and orange balls. Understand how to calculate possible values of X representing gain or loss, along with associated probabilities. Ideal for students studying probability and combinatorics in Grades 10-12.

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