Vamos resolver o problema passo a passo.

1. Definindo o Problema

Temos uma urna com:

• 8 bolas brancas,
• 4 bolas pretas,
• 2 bolas laranjas.

Escolhemos duas bolas aleatoriamente da urna. Para cada bola preta selecionada, ganhamos R$2,00, e para cada bola branca selecionada, perdemos R$1,00. Vamos considerar que a bola laranja não afeta o ganho.

Se $X$ representa nosso ganho, precisamos determinar:

1. Os valores possíveis de $X$.
2. As probabilidades associadas a cada valor de $X$.

2. Possíveis combinações de bolas

Podemos escolher duas bolas, e existem diferentes combinações que podem resultar em diferentes valores para $X$:

1. Duas bolas brancas (BB): Perda de R$1,00 por cada bola branca. Ganho: $X = -2$.
2. Uma bola branca e uma bola preta (BP): Perda de R$1,00 por uma bola branca e ganho de R$2,00 por uma bola preta. Ganho: $X = 1$.
3. Uma bola branca e uma bola laranja (BL): Perda de R$1,00 pela bola branca. Ganho: $X = -1$.
4. Uma bola preta e uma bola laranja (PL): Ganho de R$2,00 pela bola preta. Ganho: $X = 2$.
5. Duas bolas pretas (PP): Ganho de R$2,00 por cada bola preta. Ganho: $X = 4$.
6. Duas bolas laranjas (LL): Não afeta o ganho. Ganho: $X = 0$.

3. Calculando as probabilidades

Probabilidade de selecionar duas bolas brancas (BB)

• Total de formas de selecionar 2 bolas brancas: $\binom{8}{2} = 28$
• Total de formas de selecionar 2 bolas quaisquer da urna: $\binom{14}{2} = 91$
• Probabilidade: $P(X = -2) = \frac{28}{91}$

Probabilidade de selecionar uma bola branca e uma preta (BP)

• Total de formas de selecionar 1 bola branca e 1 preta: $\binom{8}{1} \times \binom{4}{1} = 32$
• Probabilidade: $P(X = 1) = \frac{32}{91}$

Probabilidade de selecionar uma bola branca e uma laranja (BL)

• Total de formas de selecionar 1 bola branca e 1 laranja: $\binom{8}{1} \times \binom{2}{1} = 16$
• Probabilidade: $P(X = -1) = \frac{16}{91}$

Probabilidade de selecionar uma bola preta e uma laranja (PL)

• Total de formas de selecionar 1 bola preta e 1 laranja: $\binom{4}{1} \times \binom{2}{1} = 8$
• Probabilidade: $P(X = 2) = \frac{8}{91}$

Probabilidade de selecionar duas bolas pretas (PP)

• Total de formas de selecionar 2 bolas pretas: $\binom{4}{2} = 6$
• Probabilidade: $P(X = 4) = \frac{6}{91}$

Probabilidade de selecionar duas bolas laranjas (LL)

• Total de formas de selecionar 2 bolas laranjas: $\binom{2}{2} = 1$
• Probabilidade: $P(X = 0) = \frac{1}{91}$

4. Resumo dos valores de $X$ e suas probabilidades

$X$	Ganho	Probabilidade $P(X)$
-2	-R$2,00	$\frac{28}{91}$
1	R$1,00	$\frac{32}{91}$
-1	-R$1,00	$\frac{16}{91}$
2	R$2,00	$\frac{8}{91}$
4	R$4,00	$\frac{6}{91}$
0	R$0,00	$\frac{1}{91}$

Esses são os valores possíveis de $X$ e as probabilidades associadas a cada um.

Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Perguntas Relativas

1. Como calcular a expectativa de ganho $E(X)$ com base nessas probabilidades?
2. Qual é a variância do ganho $X$?
3. Como a inclusão de bolas de outras cores poderia afetar a distribuição de probabilidades?
4. Qual seria a probabilidade se tirássemos 3 bolas em vez de 2?
5. Como a remoção de uma bola branca afetaria os resultados?

Dica: Quando trabalhando com probabilidades, é essencial contar corretamente os possíveis eventos e calcular as probabilidades condicionais quando necessário.