Чтобы найти плотность распределения $g(y)$ случайной величины $Y = \sqrt{X + \frac{3}{2}}$, где $X$ равномерно распределён на интервале $[-3/2; 3/2]$, следуем пошаговому процессу:

---

1. Найдем область значений $Y$:

$Y = \sqrt{X + \frac{3}{2}}$.

Для $X \in [-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}]$:
$X + \frac{3}{2} \in [0, 3].$ Так как $Y = \sqrt{X + \frac{3}{2}}$, то
$Y \in [0, \sqrt{3}].$

---

2. Связь плотностей $f_X(x)$ и $g_Y(y)$:

Согласно формуле преобразования плотностей:
$g_Y(y) = f_X(x) \cdot \left|\frac{dx}{dy}\right|,$ где $x$ выражается через $y$ из преобразования $y = \sqrt{x + \frac{3}{2}}$.

---

3. Выразим $x$ через $y$:

$y = \sqrt{x + \frac{3}{2}} \implies x = y^2 - \frac{3}{2}.$

---

4. Найдем производную $\frac{dx}{dy}$:

$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\left(y^2 - \frac{3}{2}\right) = 2y.$

---

5. Подставим $f_X(x)$:

Плотность $f_X(x)$ равномерна на $[-3/2, 3/2]$:
$f_X(x) = \frac{1}{3}, \quad x \in \left[-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right].$

---

6. Подставим в формулу:

$g_Y(y) = f_X(x) \cdot \left|\frac{dx}{dy}\right| = \frac{1}{3} \cdot |2y|.$ $g_Y(y) = \frac{2y}{3}, \quad y \in [0, \sqrt{3}].$

Таким образом, плотность распределения $Y$ равна:

\begin{cases} \frac{2y}{3}, & y \in [0, \sqrt{3}], \\ 0, & \text{иначе}. \end{cases}$$ --- Если хотите, я могу разъяснить шаги более подробно! **5 вопросов для дальнейшего изучения:** 1. Как найти математическое ожидание для этой случайной величины $$Y$$? 2. Как проверить, что $$g_Y(y)$$ — это корректная плотность (интеграл равен 1)? 3. Что изменится, если $$X$$ будет иметь нормальное распределение вместо равномерного? 4. Как вычислить вероятность, что $$Y$$ попадает в подынтервал $$[a, b]$$? 5. Как построить график плотности $$g_Y(y)$$ для наглядного представления? **Совет:** При работе с плотностями всегда проверяйте область определения случайной величины и корректность преобразования!