Mari kita pecahkan soal ini satu per satu:

a. Menentukan harga $k$

Agar $f(x)$ menjadi fungsi densitas probabilitas, integral dari $f(x)$ untuk seluruh domain harus sama dengan 1:

$\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx = 1$

Namun, karena $f(x) = k e^{-x/2}$ untuk $x > 0$ dan $f(x) = 0$ untuk $x \leq 0$, maka domainnya hanya $x > 0$. Kita cukup menghitung integral berikut:

$\int_0^\infty k e^{-x/2} \, dx = 1$

1. Hitung integral: $\int_0^\infty e^{-x/2} \, dx = \left[-2 e^{-x/2}\right]_0^\infty$

Ketika $x \to \infty$, $e^{-x/2} \to 0$. Ketika $x = 0$, $e^{-x/2} = 1$. Maka hasil integralnya adalah: $\int_0^\infty e^{-x/2} \, dx = 2$

2. Substitusi kembali ke persamaan: $k \cdot 2 = 1 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{2}$

Jawaban untuk (a): $k = \frac{1}{2}$

---

b. Menentukan rerata ($\mathbb{E}[X]$) menggunakan fungsi pembangkit momen

Fungsi pembangkit momen ($M_X(t)$) didefinisikan sebagai: $M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x) \, dx$

Karena $f(x) = \frac{1}{2} e^{-x/2}$ untuk $x > 0$, maka: $M_X(t) = \int_0^\infty e^{tx} \cdot \frac{1}{2} e^{-x/2} \, dx$

1. Gabungkan eksponen: $M_X(t) = \frac{1}{2} \int_0^\infty e^{(t - \frac{1}{2})x} \, dx$

2. Syarat konvergensi: Integral ini konvergen jika $t - \frac{1}{2} < 0$ atau $t < \frac{1}{2}$.

3. Hitung integral: \int_0^\infty e^{(t - \frac{1}{2})x} \, dx = \frac{1}{-(t - \frac{1}{2})} = \frac{1}{\frac{1}{2} - t} \quad \text{(untuk t < \frac{1}{2})}

Maka: $M_X(t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} - t} = \frac{1}{1 - 2t}$

Menghitung rerata ($\mathbb{E}[X]$): Rerata ($\mathbb{E}[X]$) diperoleh dari turunan pertama $M_X(t)$ terhadap $t$, lalu dievaluasi pada $t = 0$: $\mathbb{E}[X] = M_X'(0)$

1. Turunkan $M_X(t)$: $M_X(t) = \frac{1}{1 - 2t} \quad \Rightarrow \quad M_X'(t) = \frac{2}{(1 - 2t)^2}$

2. Substitusi $t = 0$: $M_X'(0) = \frac{2}{(1 - 0)^2} = 2$

Jawaban untuk (b): $\mathbb{E}[X] = 2$

---

Kesimpulan:

1. Nilai $k$ agar $f(x)$ merupakan fungsi densitas adalah $k = \frac{1}{2}$.
2. Rerata ($\mathbb{E}[X]$) dari variabel random $X$ adalah $2$.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau contoh tambahan? Berikut beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menghitung varians ($\text{Var}(X)$) dari variabel random ini?
2. Apa syarat konvergensi untuk fungsi pembangkit momen $M_X(t)$?
3. Bagaimana bentuk distribusi kumulatif $F(x)$ untuk fungsi densitas ini?
4. Bisakah fungsi ini direpresentasikan dalam bentuk distribusi eksponensial?
5. Apa interpretasi praktis dari nilai rerata yang diperoleh?

Tip: Ketika bekerja dengan fungsi densitas, selalu pastikan integral totalnya sama dengan 1 agar memenuhi syarat sebagai fungsi distribusi probabilitas.