Math Problem Statement
Diketahui sebuah variabel random π memiliki fungsi densitas yang didefinisikan sebagai
berikut.
f(π₯) = { ππβπ₯/2; πππ π₯ > 0
0; πππ ππππ‘βππ π₯
a. Tentukan harga π agar π(π₯) merupakan fungsi densitas variabel random π!
b. Tentukan rerata dari variabel random π menggunakan fungsi pembangkit momen!
Solution
Penyelesaian:
a. Menentukan harga agar menjadi fungsi densitas probabilitas:
Syarat fungsi densitas probabilitas adalah bahwa integral total pada seluruh ruang sampel harus sama dengan 1:
Dari soal, didefinisikan sebagai:
\begin{cases} k e^{-x/2}, & \text{untuk } x > 0 \\ 0, & \text{untuk } x \leq 0 \end{cases}$$ Maka, kita cukup mengintegralkan untuk $$x > 0$$: $$\int_{0}^{\infty} k e^{-x/2} \, dx = 1$$ Lakukan perhitungan: 1. Pisahkan $$k$$: $$k \int_{0}^{\infty} e^{-x/2} \, dx = 1$$ 2. Integral eksponensial: $$\int e^{-ax} dx = \frac{-1}{a} e^{-ax}$$ Di sini, $$a = \frac{1}{2}$$, maka: $$\int_{0}^{\infty} e^{-x/2} \, dx = \left[ -2 e^{-x/2} \right]_{0}^{\infty}$$ 3. Evaluasi batas: $$\left[ -2 e^{-x/2} \right]_{0}^{\infty} = \left( 0 - (-2) \right) = 2$$ 4. Masukkan hasil ke persamaan: $$k \cdot 2 = 1$$ 5. Solusi: $$k = \frac{1}{2}$$ **Jadi, $$k = \frac{1}{2}$$.** --- **b. Menentukan rerata ($$\mathbb{E}[X]$$) menggunakan fungsi pembangkit momen:** Fungsi pembangkit momen ($$M_X(t)$$) didefinisikan sebagai: $$M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f(x) \, dx$$ Untuk $$f(x) = \frac{1}{2} e^{-x/2}$$ pada $$x > 0$$: $$M_X(t) = \int_{0}^{\infty} e^{tx} \cdot \frac{1}{2} e^{-x/2} \, dx$$ Gabungkan eksponen: $$M_X(t) = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{x(t - \frac{1}{2})} \, dx$$ 1. Syarat konvergensi: $$t < \frac{1}{2}$$ agar integral terdefinisi. 2. Integral eksponensial: $$\int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax}, \quad \text{untuk } a < 0$$ Di sini, $$a = t - \frac{1}{2}$$, maka: $$M_X(t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{-(t - \frac{1}{2})}$$ 3. Sederhanakan: $$M_X(t) = \frac{1}{1 - 2t}, \quad \text{untuk } t < \frac{1}{2}$$ **Menghitung rerata $$\mathbb{E}[X]$$:** Rerata $$\mathbb{E}[X]$$ adalah turunan pertama $$M_X(t)$$ di $$t = 0$$: $$\mathbb{E}[X] = M_X'(t) \big|_{t=0}$$ Turunkan $$M_X(t) = \frac{1}{1 - 2t}$$: $$M_X'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{1 - 2t} \right) = \frac{2}{(1 - 2t)^2}$$ Substitusi $$t = 0$$: $$M_X'(0) = \frac{2}{(1 - 0)^2} = 2$$ **Jadi, rerata $$\mathbb{E}[X] = 2$$.** --- ### Kesimpulan: 1. Nilai $$k = \frac{1}{2}$$ agar $$f(x)$$ menjadi fungsi densitas. 2. Rerata ($$\mathbb{E}[X]$$) adalah $$2$$. --- **Pertanyaan tambahan untuk memperdalam:** 1. Bagaimana cara menentukan varians dari distribusi ini? 2. Apa fungsi distribusi kumulatif ($$F(x)$$) dari variabel random $$X$$? 3. Bagaimana jika fungsi densitas $$f(x)$$ memiliki parameter lain, seperti $$\lambda$$? 4. Apakah hasil ini konsisten dengan sifat distribusi eksponensial? 5. Bagaimana interpretasi rerata dalam konteks probabilitas? **Tip:** Gunakan turunan fungsi pembangkit momen untuk menghitung momen-momen lebih tinggi seperti varians ($$\text{Var}(X)$$).Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Probability Density Function
Moment Generating Function
Integration in Probability
Formulas
β«f(x) dx = 1 (normalization of probability density function)
Moment Generating Function: M_X(t) = E[e^(tX)]
Expected Value: E[X] = d/dt M_X(t) | t=0
Theorems
Normalization condition for probability density functions
Definition of moment generating functions
Suitable Grade Level
Undergraduate Level
Related Recommendation
Probability Density Function and Moment Generating Function: Finding k and Mean of Random Variable X
Solving PDF Problem for f(x) = k e^{-|x|}: Mean, Variance, and Probability
Determine K and Calculate Mean for Gaussian-like PDF
Moment Generating Function (MGF) and Mean/Variance Computation for a Given PDF
Find the value of k for a Continuous PDF: f_X(x) = ke^(-x) for x >= 0