Έχουμε τις εξής πιθανότητες:

• Η πιθανότητα ένας φοιτητής να έχει σκονάκι και να το χρησιμοποιήσει χωρίς να γίνει αντιληπτός:
  $P(S) = 0,2$
• Η πιθανότητα επιτυχίας αν χρησιμοποιήσει το σκονάκι:
  $P(E | S) = 0,6$
• Η πιθανότητα επιτυχίας αν δεν χρησιμοποιήσει το σκονάκι:
  $P(E | S^c) = 0,4$
• Η πιθανότητα να μην χρησιμοποιήσει το σκονάκι:
  $P(S^c) = 1 - P(S) = 0,8$

---

(i) Να προσδιοριστεί η πιθανότητα ο φοιτητής να περάσει επιτυχώς τις εξετάσεις.

Χρησιμοποιούμε τον Νόμο της Ολικής Πιθανότητας:

$P(E) = P(E | S) P(S) + P(E | S^c) P(S^c)$

Αντικαθιστούμε:

$P(E) = (0,6 \times 0,2) + (0,4 \times 0,8)$

$P(E) = 0,12 + 0,32 = 0,44$

Άρα, η πιθανότητα ο φοιτητής να περάσει επιτυχώς τις εξετάσεις είναι 0,44 (ή 44%).

---

(ii) Να προσδιοριστεί η πιθανότητα ο φοιτητής να έχει χρησιμοποιήσει το σκονάκι, αν γνωρίζουμε ότι έχει περάσει επιτυχώς τις εξετάσεις.

Χρησιμοποιούμε τον Θεώρημα του Bayes:

$P(S | E) = \frac{P(E | S) P(S)}{P(E)}$

Αντικαθιστούμε:

$P(S | E) = \frac{(0,6 \times 0,2)}{0,44}$

$P(S | E) = \frac{0,12}{0,44} = \frac{12}{44} = \frac{3}{11} \approx 0,2727$

Άρα, η πιθανότητα ο φοιτητής να έχει χρησιμοποιήσει το σκονάκι, αν γνωρίζουμε ότι πέρασε τις εξετάσεις, είναι περίπου 0,273 (ή 27,3%).

---

Θέλετε περισσότερες λεπτομέρειες ή έχετε απορίες;

Σχετικές ερωτήσεις:

1. Πώς αποδεικνύεται το θεώρημα του Bayes;
2. Ποια είναι η έννοια της ολικής πιθανότητας και πότε χρησιμοποιείται;
3. Πώς αλλάζουν οι πιθανότητες αν αυξηθεί η πιθανότητα επιτυχίας χωρίς σκονάκι;
4. Πώς θα υπολογίζαμε την πιθανότητα ο φοιτητής να μην περάσει τις εξετάσεις;
5. Πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δενδροειδή διαγράμματα για τέτοια προβλήματα;

📌 Συμβουλή: Το θεώρημα του Bayes είναι πολύ χρήσιμο σε προβλήματα όπου ψάχνουμε την αντίστροφη πιθανότητα μιας κατάστασης, δηλαδή όταν ξέρουμε το αποτέλεσμα και θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα μίας από τις αιτίες του.