https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1728953133699yj0oeo57.jpg

Berdasarkan gambar yang Anda unggah, kita dapat melihat bahwa topik yang dibahas terkait dengan **Hukum Hagen-Poiseuille** dan aliran fluida dalam **modul serat berongga**. Rumus yang diminta tampaknya merupakan turunan dari gradien tekanan (\( \frac{d p_3}{dx} \)) dalam aliran laminar fluida melalui pipa atau saluran sempit (dengan diameter kecil). Mari kita uraikan secara singkat bagaimana rumus tersebut dapat diperoleh.

---

### 1. **Dasar Hukum Hagen-Poiseuille**
Hukum Hagen-Poiseuille mendeskripsikan **aliran laminar** fluida melalui pipa sempit dan berbentuk silinder. Rumus dasar dari hukum ini adalah:

\[
Q = \frac{\pi r^4}{8 \eta} \frac{\Delta P}{L}
\]

di mana:  
- \(Q\) = debit aliran volumetrik (m\(^3\)/s)  
- \(r\) = jari-jari pipa  
- \(\eta\) = viskositas fluida  
- \(\Delta P\) = perbedaan tekanan  
- \(L\) = panjang pipa

---

### 2. **Turunan Gradien Tekanan \(\frac{d p_3}{dx}\)**
Pada gambar dan persamaan, fokus diberikan pada aliran dengan komponen tekanan \(p_3(x)\). Untuk mendapatkan gradien tekanan \( \frac{d p_3}{dx} \), kita mulai dengan persamaan dasar dari hukum Hagen-Poiseuille untuk aliran silindris:

\[
\frac{d p_3}{dx} = -\frac{32 \eta \bar{v}_{x3}(x)}{d_i^2}
\]

#### Cara Memperoleh Persamaan:
1. **Gaya gesekan dalam aliran laminar** menghasilkan hilangnya tekanan secara linier. Ini mengikuti konsep hukum Hagen-Poiseuille.
2. **Bilangan Reynolds (Re)** juga muncul dalam persamaan, yang dinyatakan sebagai:
   \[
   Re = \frac{\rho \bar{v}_{x3} d_i}{\eta}
   \]
   Dengan memasukkan \(\bar{v}_{x3}\) dan substitusi ini, kita bisa menghubungkan antara viskositas dinamis \(\eta\), kecepatan rata-rata \(\bar{v}_{x3}(x)\), dan diameter internal pipa \(d_i\).
3. Dari turunan yang melibatkan laju aliran dan friksi internal, diperoleh:
   \[
   \frac{d p_3}{dx} = - \frac{64}{Re} \cdot \frac{\rho}{2} \bar{v}_{x3}(x)
   \]
   Dengan penyederhanaan dan menghilangkan faktor konstanta, kita sampai ke bentuk akhir seperti yang diberikan dalam gambar.

---

### 3. **Penjelasan Diagram**
Pada diagram bagian bawah:
- Aliran terjadi dalam **modul serat**, dan komponen kecepatan aliran \(v_{x3}(r)\) maupun tekanan \(p_3(x)\) dipertimbangkan di sepanjang serat.
- Karena aliran radial sangat kecil, hukum Hagen-Poiseuille diterapkan, dan gradien tekanan sepanjang \(dx\) dihitung.
- Persamaan ini penting dalam analisis **membran filtrasi** atau proses **permeasi** karena menentukan bagaimana fluida mengalir melalui serat berongga kecil.

---

### Pertanyaan Tambahan
1. Apa asumsi yang digunakan dalam hukum Hagen-Poiseuille agar tetap valid?
2. Bagaimana cara menghitung bilangan Reynolds untuk aliran dalam modul serat ini?
3. Mengapa aliran radial dianggap kecil dalam konfigurasi ini?
4. Apa peran viskositas fluida dalam mempengaruhi laju aliran?
5. Bagaimana variasi diameter serat mempengaruhi tekanan dalam aliran?

---

**Tip:** Saat bekerja dengan aliran laminar, pastikan bahwa bilangan Reynolds berada di bawah 2000 agar hukum Hagen-Poiseuille tetap relevan.

Explore how to derive the pressure gradient formula using the Hagen-Poiseuille law for laminar fluid flow in a hollow fiber module. Understand key concepts like fluid dynamics, Reynolds number, and pressure loss in small-diameter tubes.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation