Math Problem Statement
Berikan persamaan molekuler nya
Solution
Berdasarkan gambar yang Anda lampirkan, ini tampaknya adalah sketsa yang terkait dengan aliran fluida dalam saluran atau celah sempit dengan asumsi tertentu, yang mirip dengan masalah "lubrication theory" atau "flow between plates." Adapun asumsinya mencakup:
- Keadaan tunak (Steady state)
- Kecepatan aliran dalam arah x dan y adalah nol ()
- Fluida Newtonian (Aliran viskositas konstan)
- End effect diabaikan (pengabaian pengaruh tepi)
Persamaan Dasar:
Untuk menjawab permintaan Anda mengenai persamaan molekuler dari aliran fluida ini, kita akan menggunakan persamaan momentum dari Navier-Stokes yang disederhanakan dengan kondisi dan asumsi ini.
Asumsi Dasar:
- Aliran hanya terjadi pada arah (yaitu, adalah fungsi dari ).
- Persamaan kontinuitas (karena ) memastikan bahwa tidak ada variasi kecepatan dalam arah dan .
Untuk kasus aliran laminar di celah tipis, kita sering menyederhanakan persamaan Navier-Stokes menjadi Persamaan Poiseuille untuk aliran Newtonian dalam celah atau saluran datar.
1. Persamaan Navier-Stokes yang Disederhanakan:
Jika kita hanya mempertimbangkan aliran sepanjang , persamaan momentum Navier-Stokes untuk arah adalah:
di mana:
- adalah viskositas dinamis fluida,
- adalah gradien tekanan dalam arah aliran ,
- adalah turunan kedua dari kecepatan terhadap koordinat (arah normal terhadap lebar saluran ).
2. Solusi Persamaan:
Integrasi persamaan ini dua kali dengan respect to akan memberikan profil kecepatan . Asumsikan kondisi batas bahwa kecepatan pada kedua dinding saluran (pada dan ) adalah nol (yaitu, no-slip condition), kita dapatkan:
Ini menunjukkan bahwa kecepatan maksimum terjadi di tengah-tengah saluran pada , sedangkan kecepatan di dinding saluran (pada dan ) adalah nol.
3. Aliran Volumetrik:
Debit volumetrik aliran dapat diperoleh dengan mengintegrasikan profil kecepatan:
Ini adalah Persamaan Poiseuille untuk aliran laminar melalui celah sempit.
Jika Anda membutuhkan detail lebih lanjut atau penjelasan tambahan, jangan ragu untuk bertanya!
Pertanyaan Terkait:
- Apa perbedaan utama antara fluida Newtonian dan non-Newtonian?
- Bagaimana cara menyelesaikan persamaan ini jika kita memperhitungkan viskositas yang bervariasi (fluida non-Newtonian)?
- Bagaimana distribusi tekanan ditentukan dalam situasi ini?
- Apa yang dimaksud dengan "steady state" dalam aliran fluida, dan apa implikasinya pada persamaan aliran?
- Bagaimana pengaruh lebar saluran terhadap kecepatan maksimum dan debit aliran ?
Tip:
Dalam aliran fluida, memperhitungkan asumsi seperti keadaan tunak dan fluida Newtonian bisa sangat menyederhanakan persamaan aliran, tetapi selalu pastikan bahwa asumsi ini valid untuk situasi fisik yang sebenarnya.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Fluid Dynamics
Navier-Stokes Equations
Poiseuille Flow
Newtonian Fluid
Laminar Flow
Formulas
Simplified Navier-Stokes equation: μ (d^2 V_z(x)/dx^2) = dp/dz
Poiseuille Flow velocity profile: V_z(x) = (1/2μ) (dp/dz) (xL - x^2)
Volumetric flow rate Q: Q = (L^3 / 12μ) (dp/dz)
Theorems
Navier-Stokes Equations
Poiseuille's Law for Laminar Flow
Suitable Grade Level
Undergraduate
Related Recommendation
Understanding Poiseuille's Law and Fluid Flow Formula
Solving Navier-Stokes Equations for Incompressible, Inviscid Fluids
Poiseuille’s Law for Fluid Flow Rate: Solving Radius and Flow Rate Problems
Velocity Profile of Viscous Fluid Flow: Solving Nonlinear Differential Equations
Calculate Diameter and Flow Rate in a Pipe using Continuity Equation