Math Problem Statement

Berikan persamaan molekuler nya

Berikan persamaan molekuler nya

Solution

Berdasarkan gambar yang Anda lampirkan, ini tampaknya adalah sketsa yang terkait dengan aliran fluida dalam saluran atau celah sempit dengan asumsi tertentu, yang mirip dengan masalah "lubrication theory" atau "flow between plates." Adapun asumsinya mencakup:

  1. Keadaan tunak (Steady state)
  2. Kecepatan aliran dalam arah x dan y adalah nol (Vx=Vy=0V_x = V_y = 0)
  3. Fluida Newtonian (Aliran viskositas konstan)
  4. End effect diabaikan (pengabaian pengaruh tepi)

Persamaan Dasar:

Untuk menjawab permintaan Anda mengenai persamaan molekuler dari aliran fluida ini, kita akan menggunakan persamaan momentum dari Navier-Stokes yang disederhanakan dengan kondisi dan asumsi ini.

Asumsi Dasar:

  • Aliran hanya terjadi pada arah zz (yaitu, VzV_z adalah fungsi dari xx).
  • Persamaan kontinuitas (karena Vx=Vy=0V_x = V_y = 0) memastikan bahwa tidak ada variasi kecepatan dalam arah xx dan yy.

Untuk kasus aliran laminar di celah tipis, kita sering menyederhanakan persamaan Navier-Stokes menjadi Persamaan Poiseuille untuk aliran Newtonian dalam celah atau saluran datar.

1. Persamaan Navier-Stokes yang Disederhanakan:

Jika kita hanya mempertimbangkan aliran sepanjang zz, persamaan momentum Navier-Stokes untuk arah zz adalah:

μd2Vz(x)dx2=dpdz\mu \frac{d^2 V_z(x)}{dx^2} = \frac{dp}{dz}

di mana:

  • μ\mu adalah viskositas dinamis fluida,
  • dpdz\frac{dp}{dz} adalah gradien tekanan dalam arah aliran zz,
  • d2Vzdx2\frac{d^2 V_z}{dx^2} adalah turunan kedua dari kecepatan VzV_z terhadap koordinat xx (arah normal terhadap lebar saluran LL).

2. Solusi Persamaan:

Integrasi persamaan ini dua kali dengan respect to xx akan memberikan profil kecepatan Vz(x)V_z(x). Asumsikan kondisi batas bahwa kecepatan Vz(x)V_z(x) pada kedua dinding saluran (pada x=0x = 0 dan x=Lx = L) adalah nol (yaitu, no-slip condition), kita dapatkan:

Vz(x)=12μdpdz(xLx2)V_z(x) = \frac{1}{2\mu} \frac{dp}{dz} (xL - x^2)

Ini menunjukkan bahwa kecepatan maksimum terjadi di tengah-tengah saluran pada x=L2x = \frac{L}{2}, sedangkan kecepatan di dinding saluran (pada x=0x = 0 dan x=Lx = L) adalah nol.

3. Aliran Volumetrik:

Debit volumetrik aliran QQ dapat diperoleh dengan mengintegrasikan profil kecepatan:

Q=0LVz(x)dx=L312μdpdzQ = \int_0^L V_z(x) \, dx = \frac{L^3}{12\mu} \frac{dp}{dz}

Ini adalah Persamaan Poiseuille untuk aliran laminar melalui celah sempit.


Jika Anda membutuhkan detail lebih lanjut atau penjelasan tambahan, jangan ragu untuk bertanya!

Pertanyaan Terkait:

  1. Apa perbedaan utama antara fluida Newtonian dan non-Newtonian?
  2. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan ini jika kita memperhitungkan viskositas yang bervariasi (fluida non-Newtonian)?
  3. Bagaimana distribusi tekanan p(z)p(z) ditentukan dalam situasi ini?
  4. Apa yang dimaksud dengan "steady state" dalam aliran fluida, dan apa implikasinya pada persamaan aliran?
  5. Bagaimana pengaruh lebar saluran LL terhadap kecepatan maksimum dan debit aliran QQ?

Tip:

Dalam aliran fluida, memperhitungkan asumsi seperti keadaan tunak dan fluida Newtonian bisa sangat menyederhanakan persamaan aliran, tetapi selalu pastikan bahwa asumsi ini valid untuk situasi fisik yang sebenarnya.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Fluid Dynamics
Navier-Stokes Equations
Poiseuille Flow
Newtonian Fluid
Laminar Flow

Formulas

Simplified Navier-Stokes equation: μ (d^2 V_z(x)/dx^2) = dp/dz
Poiseuille Flow velocity profile: V_z(x) = (1/2μ) (dp/dz) (xL - x^2)
Volumetric flow rate Q: Q = (L^3 / 12μ) (dp/dz)

Theorems

Navier-Stokes Equations
Poiseuille's Law for Laminar Flow

Suitable Grade Level

Undergraduate