https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1726149930785icvicb86.jpg

Berdasarkan gambar yang Anda lampirkan, ini tampaknya adalah sketsa yang terkait dengan aliran fluida dalam saluran atau celah sempit dengan asumsi tertentu, yang mirip dengan masalah "lubrication theory" atau "flow between plates." Adapun asumsinya mencakup:

1. **Keadaan tunak** (Steady state)
2. **Kecepatan aliran dalam arah x dan y adalah nol** (\(V_x = V_y = 0\))
3. **Fluida Newtonian** (Aliran viskositas konstan)
4. **End effect diabaikan** (pengabaian pengaruh tepi)

### Persamaan Dasar:
Untuk menjawab permintaan Anda mengenai **persamaan molekuler** dari aliran fluida ini, kita akan menggunakan persamaan momentum dari **Navier-Stokes** yang disederhanakan dengan kondisi dan asumsi ini.

#### Asumsi Dasar:
- Aliran hanya terjadi pada arah \( z \) (yaitu, \( V_z \) adalah fungsi dari \( x \)).
- Persamaan kontinuitas (karena \( V_x = V_y = 0 \)) memastikan bahwa tidak ada variasi kecepatan dalam arah \( x \) dan \( y \).

Untuk kasus aliran laminar di celah tipis, kita sering menyederhanakan persamaan Navier-Stokes menjadi **Persamaan Poiseuille** untuk aliran Newtonian dalam celah atau saluran datar.

### 1. Persamaan Navier-Stokes yang Disederhanakan:
Jika kita hanya mempertimbangkan aliran sepanjang \( z \), persamaan momentum Navier-Stokes untuk arah \( z \) adalah:

\[
\mu \frac{d^2 V_z(x)}{dx^2} = \frac{dp}{dz}
\]

di mana:
- \( \mu \) adalah viskositas dinamis fluida,
- \( \frac{dp}{dz} \) adalah gradien tekanan dalam arah aliran \( z \),
- \( \frac{d^2 V_z}{dx^2} \) adalah turunan kedua dari kecepatan \( V_z \) terhadap koordinat \( x \) (arah normal terhadap lebar saluran \( L \)).

### 2. Solusi Persamaan:
Integrasi persamaan ini dua kali dengan respect to \( x \) akan memberikan profil kecepatan \( V_z(x) \). Asumsikan kondisi batas bahwa kecepatan \( V_z(x) \) pada kedua dinding saluran (pada \( x = 0 \) dan \( x = L \)) adalah nol (yaitu, no-slip condition), kita dapatkan:

\[
V_z(x) = \frac{1}{2\mu} \frac{dp}{dz} (xL - x^2)
\]

Ini menunjukkan bahwa kecepatan maksimum terjadi di tengah-tengah saluran pada \( x = \frac{L}{2} \), sedangkan kecepatan di dinding saluran (pada \( x = 0 \) dan \( x = L \)) adalah nol.

### 3. Aliran Volumetrik:
Debit volumetrik aliran \( Q \) dapat diperoleh dengan mengintegrasikan profil kecepatan:

\[
Q = \int_0^L V_z(x) \, dx = \frac{L^3}{12\mu} \frac{dp}{dz}
\]

Ini adalah **Persamaan Poiseuille** untuk aliran laminar melalui celah sempit.

---

Jika Anda membutuhkan detail lebih lanjut atau penjelasan tambahan, jangan ragu untuk bertanya!

### Pertanyaan Terkait:
1. Apa perbedaan utama antara fluida Newtonian dan non-Newtonian?
2. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan ini jika kita memperhitungkan viskositas yang bervariasi (fluida non-Newtonian)?
3. Bagaimana distribusi tekanan \( p(z) \) ditentukan dalam situasi ini?
4. Apa yang dimaksud dengan "steady state" dalam aliran fluida, dan apa implikasinya pada persamaan aliran?
5. Bagaimana pengaruh lebar saluran \( L \) terhadap kecepatan maksimum dan debit aliran \( Q \)?

### Tip:
Dalam aliran fluida, memperhitungkan asumsi seperti keadaan tunak dan fluida Newtonian bisa sangat menyederhanakan persamaan aliran, tetapi selalu pastikan bahwa asumsi ini valid untuk situasi fisik yang sebenarnya.

Understand the molecular equations for Newtonian fluid flow in a narrow channel under steady-state conditions. Explore the simplified Navier-Stokes equation, Poiseuille flow velocity profile, and volumetric flow rate formula. Suitable for undergraduate fluid dynamics studies.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation