Aufgabe: Entwicklung von Potenzreihen

Gegeben ist die geometrische Potenzreihe:

$\frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{\infty} x^k \quad \text{für} \quad |x| < 1.$

Nun sollen wir verschiedene Funktionen als Potenzreihe entwickeln, indem wir die gegebene Reihe ableiten oder integrieren. Dabei beachten wir auch den Konvergenzbereich.

a. Potenzreihe für $\frac{1}{(1-x)^2}$ durch Ableitung

Um $\frac{1}{(1-x)^2}$ zu entwickeln, nehmen wir die Ableitung der gegebene Reihe $\frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{\infty} x^k$ nach $x$:

$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1-x} \right) = \frac{d}{dx} \left( \sum_{k=0}^{\infty} x^k \right)$

Die Ableitung der linken Seite ergibt:

$\frac{1}{(1-x)^2}.$

Die Ableitung der rechten Seite ergibt:

$\sum_{k=1}^{\infty} k x^{k-1}.$

Also erhalten wir:

$\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{k=1}^{\infty} k x^{k-1}.$

b. Potenzreihe für $\frac{2}{(1-x)^3}$ durch Ableitung

Nun nehmen wir die Ableitung von $\frac{1}{(1-x)^2}$, das wir gerade entwickelt haben:

$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{(1-x)^2} \right) = \frac{d}{dx} \left( \sum_{k=1}^{\infty} k x^{k-1} \right).$

Die Ableitung der linken Seite ergibt:

$\frac{2}{(1-x)^3}.$

Die Ableitung der rechten Seite ergibt:

$\sum_{k=1}^{\infty} k(k-1) x^{k-2}.$

Daher haben wir:

$\frac{2}{(1-x)^3} = \sum_{k=2}^{\infty} 2 k (k-1) x^{k-2}.$

c. Potenzreihe für $\ln(1-x)$ durch Integration

Nun integrieren wir die Ausgangsreihe $\frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{\infty} x^k$ nach $x$, um die Reihe für $\ln(1-x)$ zu erhalten. Wir integrieren beide Seiten der Gleichung:

$\int \frac{1}{1-x} \, dx = \int \left( \sum_{k=0}^{\infty} x^k \right) \, dx.$

Die Integration der linken Seite ergibt:

$-\ln(1-x).$

Die Integration der rechten Seite ergibt:

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k+1}}{k+1}.$

Also erhalten wir:

$\ln(1-x) = - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k}.$

Bestimmung des Konvergenzbereichs

Für alle drei Reihen können wir den Konvergenzbereich anhand der ursprünglichen geometrischen Reihe bestimmen, die für $|x| < 1$ konvergiert. Da wir nur Differentiation oder Integration durchgeführt haben, verändert sich der Konvergenzbereich nicht. Somit ist der Konvergenzbereich aller drei Reihen:

$|x| < 1.$

Zusammenfassung der Ergebnisse:

1. Potenzreihe für $\frac{1}{(1-x)^2}$:

$\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{k=1}^{\infty} k x^{k-1} \quad \text{für} \quad |x| < 1.$

2. Potenzreihe für $\frac{2}{(1-x)^3}$:

$\frac{2}{(1-x)^3} = \sum_{k=2}^{\infty} 2 k (k-1) x^{k-2} \quad \text{für} \quad |x| < 1.$

3. Potenzreihe für $\ln(1-x)$:

$\ln(1-x) = - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k} \quad \text{für} \quad |x| < 1.$

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Weitere Fragen:

1. Wie kann man die Potenzreihe für $\frac{1}{1-x}$ auch mit einer anderen Methode herleiten?
2. Was passiert, wenn der Wert von $x$ außerhalb des Konvergenzbereichs liegt?
3. Wie funktioniert die Umkehrung einer Potenzreihe, z.B. bei $\frac{1}{(1-x)^2}$?
4. In welcher Situation könnte man die Potenzreihe für $\ln(1-x)$ in praktischen Anwendungen verwenden?
5. Was passiert mit den Potenzreihen, wenn man sie für komplexe Zahlen $x$ anwendet?

Tipp:

Bei der Bestimmung des Konvergenzbereichs ist es wichtig, den Radius der Konvergenz immer durch die Basisreihe oder durch den verwendeten Differentiations- bzw. Integrationsprozess zu prüfen.