Vi har ett polynom $p(x)$ där $p(5) = 0$ och $p(1) = 4$. Låt oss gå igenom varje påstående och analysera dess sanningsvärde:

A. $x = 5$ är en lösning till ekvationen $p(x) = 0$.

• Sant. Enligt informationen i problemet vet vi att $p(5) = 0$, vilket betyder att $x = 5$ är en rot till polynomet $p(x)$, och därför är en lösning till ekvationen $p(x) = 0$.

B. Det finns ett polynom $q_1(x)$ så att $p(x) = (x-5) \cdot q_1(x)$.

• Sant. Eftersom $x = 5$ är en rot till polynomet $p(x)$, kan vi faktorisera $p(x)$ som $p(x) = (x - 5) \cdot q_1(x)$, där $q_1(x)$ är ett polynom.

C. Det finns ett polynom $q_2(x)$ så att $p(x) = (x-1) \cdot q_2(x) + 4$.

• Sant. Detta följer av polynomdivision. Eftersom $p(1) = 4$, kan vi skriva om $p(x)$ i formen $p(x) = (x - 1) \cdot q_2(x) + 4$, där $q_2(x)$ är ett annat polynom och 4 är resten när man delar $p(x)$ med $(x - 1)$.

D. Resten när $p(x)$ divideras med $(x-5)$ är skild från noll.

• Falskt. Eftersom $p(5) = 0$, innebär detta att resten när man dividerar $p(x)$ med $(x - 5)$ är noll.

E. Det är möjligt att $y = p(x)$ beskriver en rät linje i $(x, y)$-planet.

• Sant. Om polynomet $p(x)$ är ett förstagradspolynom, till exempel $p(x) = a(x - 5)$ där $a$ är en konstant, så är grafen till polynomet en rät linje.

F. Om 5 är den enda roten till $p(x)$, så finns två alternativ: $p(x) = x-5$ eller $p(x) = 5-x$.

• Falskt. Det finns fler möjligheter än dessa två. Om $5$ är den enda roten, kan polynomet till exempel vara $p(x) = c(x - 5)^n$ för ett godtyckligt heltal $n \geq 1$ och en konstant $c$. Det behöver inte vara enbart $x - 5$ eller $5 - x$.

Slutsats

De sanna påståendena är A, B, C, och E.

Vill du ha mer detaljer eller har du några frågor?

Här är 5 relaterade frågor:

1. Vad innebär det att ett polynom kan faktoriseras i termer av sina rötter?
2. Hur fungerar polynomdivision och varför får man en rest?
3. Kan ett polynom av högre grad än ett beskriva en rät linje i något fall?
4. Hur kan man kontrollera om ett polynom har fler rötter än en given rot?
5. Vad är skillnaden mellan ett polynom med en rot och ett polynom med flera rötter?

Tips: När ett polynom har en rot $x = r$, kan det alltid faktoriseras som $p(x) = (x - r) \cdot q(x)$, där $q(x)$ är ett polynom.