Mitkä ovat polynomin g(x) = 2x3 + 2x2 − 52x + 48 nollakohdat, kun tiedetään, että sen yksi nollakohta on x = 1.

Polynomi on annettu muodossa:

\[
g(x) = 2x^3 + 2x^2 - 52x + 48
\]

Ja tiedämme, että yksi polynomin nollakohdista on \(x = 1\). Tämä tarkoittaa, että \(g(1) = 0\), joten voimme käyttää \(x = 1\) nollakohdan hyväksi polynomin jakamiseen tekijöihin käyttäen polynomijakolaskua tai suoraan soveltamalla tekijälauseketta.

### Vaihe 1: Polynomin jakaminen

Koska tiedämme, että \(x = 1\) on nollakohta, voidaan jakaa polynomi tekijällä \(x - 1\) käyttäen polynomijakolaskua. Aloitetaan jakamalla \(g(x)\) polynomilla \(x - 1\).

Suoritettuani jakolaskun, saamme:

\[
g(x) = (x - 1)(2x^2 + 4x - 48)
\]

### Vaihe 2: Jäljelle jääneen polynomin nollakohdat

Nyt meidän täytyy etsiä toisen asteen polynomin \(2x^2 + 4x - 48\) nollakohdat. Tämä tehdään ratkaisemalla yhtälö \(2x^2 + 4x - 48 = 0\) käyttäen ratkaisukaavaa:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Missä:
- \(a = 2\)
- \(b = 4\)
- \(c = -48\)

Lasketaan diskriminantti:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(2)(-48) = 16 + 384 = 400
\]

Nyt voimme laskea juuret:

\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{400}}{2(2)} = \frac{-4 \pm 20}{4}
\]

Saadaan kaksi ratkaisua:

\[
x_1 = \frac{-4 + 20}{4} = \frac{16}{4} = 4
\]
\[
x_2 = \frac{-4 - 20}{4} = \frac{-24}{4} = -6
\]

### Vaihe 3: Polynomin nollakohdat

Polynomin \(g(x) = 2x^3 + 2x^2 - 52x + 48\) nollakohdat ovat siis:

\[
x = 1, \quad x = 4, \quad x = -6
\]

Haluatko tarkempia tietoja tai onko sinulla kysyttävää tästä?  
Tässä muutama lisäkysymys aiheeseen liittyen:

1. Kuinka polynomijakolasku suoritetaan käytännössä?
2. Mikä on diskriminantti, ja miten sitä käytetään nollakohtien määrittämisessä?
3. Kuinka polynomien nollakohtia voidaan arvioida, jos ei tiedetä yhtään juurta?
4. Mikä ero on toisella ja kolmannella asteen polynomilla nollakohtien määrässä?
5. Voidaanko kaikki polynomit jakaa tekijöihin?

**Vinkki:** Diskriminantti kertoo toisen asteen yhtälön juurien lukumäärän ja tyypin: positiivinen diskriminantti tarkoittaa kahta erillistä juurta, nolla yksiä samaa juurta ja negatiivinen diskriminantti kompleksisia juuria.

Mitkä ovat polynomin g(x) = 2x^3 + 2x^2 − 52x + 48 nollakohdat, kun tiedetään, että sen yksi nollakohta on x = 1?

Learn how to find the roots of the polynomial g(x) = 2x^3 + 2x^2 − 52x + 48, given that one root is x = 1. This detailed solution uses factoring and the quadratic formula to solve for the remaining roots, suitable for Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation