Oblicz pisemnie dzielenie wielomianu (x³+7x²+7x-16) : (x+4)

Chcemy wykonać pisemne dzielenie wielomianu \( x^3 + 7x^2 + 7x - 16 \) przez \( x + 4 \). Skorzystamy z metody dzielenia wielomianów przez wielomiany liniowe, czyli tzw. schematu Hornera. Zaczynamy!

### Krok 1: Przygotowanie
Rozpisujemy wielomian dzielny:
\[
x^3 + 7x^2 + 7x - 16
\]
Dzielimy przez \( x + 4 \).

### Krok 2: Podział wyrazów

1. **Dzielimy** najwyższy stopień wielomianu dzielnego przez najwyższy stopień wielomianu dzielnika: 
   \[
   \frac{x^3}{x} = x^2
   \]
   Pierwszy wyraz ilorazu to \( x^2 \).

2. **Mnożymy** \( x^2 \) przez \( x + 4 \) i odejmujemy wynik od wielomianu dzielnego:
   \[
   (x^3 + 4x^2)
   \]
   Odejmujemy to od \( x^3 + 7x^2 + 7x - 16 \):
   \[
   (x^3 + 7x^2 + 7x - 16) - (x^3 + 4x^2) = 3x^2 + 7x - 16
   \]

### Krok 3: Powtórzenie dla kolejnych wyrazów

1. Dzielimy \( 3x^2 \) przez \( x \):
   \[
   \frac{3x^2}{x} = 3x
   \]
   Drugi wyraz ilorazu to \( 3x \).

2. Mnożymy \( 3x \) przez \( x + 4 \) i odejmujemy wynik od reszty:
   \[
   (3x^2 + 12x)
   \]
   Odejmujemy to od \( 3x^2 + 7x - 16 \):
   \[
   (3x^2 + 7x - 16) - (3x^2 + 12x) = -5x - 16
   \]

### Krok 4: Ostatni wyraz

1. Dzielimy \( -5x \) przez \( x \):
   \[
   \frac{-5x}{x} = -5
   \]
   Trzeci wyraz ilorazu to \( -5 \).

2. Mnożymy \( -5 \) przez \( x + 4 \) i odejmujemy wynik od reszty:
   \[
   (-5x - 20)
   \]
   Odejmujemy to od \( -5x - 16 \):
   \[
   (-5x - 16) - (-5x - 20) = 4
   \]

### Krok 5: Wynik końcowy

Iloraz to \( x^2 + 3x - 5 \), a reszta to \( 4 \).

Ostateczny wynik dzielenia:
\[
\frac{x^3 + 7x^2 + 7x - 16}{x + 4} = x^2 + 3x - 5 \text{ z resztą } 4
\]

Czy chcesz, abym wyjaśnił więcej szczegółów lub masz inne pytania?

### Powiązane pytania:
1. Jakie są inne metody dzielenia wielomianów?
2. Jak zinterpretować resztę w dzieleniu wielomianów?
3. Jakie są typowe błędy przy dzieleniu wielomianów?
4. Czy można sprawdzić wynik dzielenia wielomianów?
5. Jak dzielić wielomian przez wielomian o wyższym stopniu?

### Tip:
Aby sprawdzić wynik dzielenia, wystarczy pomnożyć iloraz przez dzielnik i dodać resztę — wynik powinien dać oryginalny wielomian.

Master the step-by-step process of dividing the polynomial (x³ + 7x² + 7x - 16) by (x + 4) using synthetic division. This detailed solution involves algebraic concepts, with key formulas and applications of the Remainder Theorem. Ideal for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation