 Cho n là số nguyên dương lẻ. Tìm tất cả các hoán vị p của {1,2,...,n} sao cho:
 |p(1) − 1| + |p(2) − 2| +... +|p(n) −n| = n2 −1

Cho \( n \) là số nguyên dương lẻ và ta cần tìm tất cả các hoán vị \( p \) của tập hợp \( \{1, 2, \ldots, n\} \) thỏa mãn:

\[
|p(1) - 1| + |p(2) - 2| + \dots + |p(n) - n| = n^2 - 1
\]

### Phân tích:
- \( p \) là một hoán vị của tập \( \{1, 2, \dots, n\} \), nghĩa là một sắp xếp lại thứ tự của các phần tử trong tập hợp này.
- Giá trị của \( |p(i) - i| \) là độ lệch của phần tử \( p(i) \) khỏi vị trí \( i \).
- Tổng của các độ lệch này là \( n^2 - 1 \).

### Suy xét về giới hạn:
- Đối với một hoán vị bất kỳ \( p \), giá trị của \( |p(i) - i| \) dao động từ 0 đến \( n-1 \).
- Tối đa của tổng \( |p(1) - 1| + |p(2) - 2| + \dots + |p(n) - n| \) sẽ là tổng của \( n \) số lớn nhất có thể, tức là \( n(n-1)/2 \), nhưng điều kiện yêu cầu tổng là \( n^2 - 1 \), điều này gợi ý rằng hoán vị \( p \) phải có sự sắp xếp đặc biệt để đạt được giá trị này.

### Một số đặc điểm:
- Để tổng đạt được giá trị \( n^2 - 1 \), gần như tất cả các phần tử của \( p \) phải có độ lệch lớn nhất có thể so với vị trí ban đầu của chúng.
- Tuy nhiên, tổng cụ thể của tất cả các giá trị độ lệch cần phải được tính toán kỹ lưỡng thông qua các phép thử trực tiếp hoặc quy nạp đối với một số giá trị \( n \).

Vì vấn đề này yêu cầu một phân tích hoán vị phức tạp, ta có thể xem xét các giá trị nhỏ của \( n \) để tìm quy luật và từ đó tổng quát hóa.

---

**Bạn có muốn thử tiếp cận từng bước với giá trị \( n = 3 \) hoặc \( n = 5 \) trước không?**

### Câu hỏi mở rộng:
1. Làm thế nào để tìm tất cả các hoán vị của một tập hợp?
2. Tổng của \( |p(i) - i| \) có giới hạn nào không?
3. Với giá trị \( n = 3 \), ta có bao nhiêu hoán vị thoả mãn điều kiện đề bài?
4. Nếu tăng giá trị của \( n \), sự ảnh hưởng của \( n^2 - 1 \) sẽ thay đổi thế nào?
5. Có cách nào để tối ưu hóa việc tìm kiếm các hoán vị này?

### Mẹo:
Khi làm việc với các bài toán liên quan đến hoán vị, việc viết ra một vài ví dụ cụ thể luôn hữu ích trong việc tìm ra quy luật tổng quát.

Cho n là số nguyên dương lẻ. Tìm tất cả các hoán vị p của {1,2,...,n} sao cho: |p(1) − 1| + |p(2) − 2| +... +|p(n) − n| = n^2 − 1

Explore how to find all permutations of the set {1, 2, ..., n} where the sum of absolute deviations |p(1) − 1| + ... + |p(n) − n| equals n² − 1. This advanced combinatorics problem focuses on permutation theory and absolute value properties. Ideal for students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation