Math Problem Statement
bitte löse
(Permutationen, 4 Punkte) Gegeben sei die Permutation
(a) Stellen Sie a als ein Produkt von Zyklen dar!
(b) Bestimmen Sie sgn(a) (mit Begründung).
(c) Bestimmen Sie sgn(a ∘ a).
(d) Bestimmen Sie die inverse Permutation a⁻¹ und sgn(a⁻¹).
Solution
Die Aufgabe bezieht sich auf Permutationen und Zyklenschreibweise. Die Permutation α ist wie folgt gegeben:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Nun zu den einzelnen Teilaufgaben: ### (a) Darstellung von α als Produkt von Zyklen Zuerst müssen wir α in Zyklen schreiben. Wir verfolgen die Positionen der Elemente, wie sie durch die Permutation umsortiert werden: - 1 geht auf 3, 3 geht auf 5, 5 geht auf 1. Das ergibt den Zyklus (1 3 5). - 2 geht auf 4, und 4 geht auf 2. Das ergibt den Zyklus (2 4). Also kann die Permutation α als Produkt der Zyklen geschrieben werden: $$\alpha = (1 3 5)(2 4)$$ ### (b) Bestimmung von sgn(α) Die Signatur (oder Vorzeichen) einer Permutation wird durch die Anzahl der Inversionen bestimmt. Eine Inversion ist ein Paar von Elementen, bei denen das kleinere an einer höheren Stelle steht als das größere. Wir analysieren α = (1 3 5)(2 4): - Der Zyklus (1 3 5) hat eine Länge von 3, und die Signatur eines 3-Zyklen ist (-1)^(3-1) = -1. - Der Zyklus (2 4) hat eine Länge von 2, und die Signatur eines 2-Zyklen ist (-1)^(2-1) = -1. Da α das Produkt von zwei Zyklen ist, ist die Signatur: $$\text{sgn}(\alpha) = (-1) \times (-1) = 1$$ ### (c) Bestimmung von sgn(α ∘ α) Um α ∘ α (die Permutation α nach α angewendet) zu berechnen, kombinieren wir die beiden Zyklen: $$\alpha = (1 3 5)(2 4)$$ - Das Produkt der beiden Zyklen führt zu einer Permutation, die die Elemente 1, 3 und 5 zwei Umdrehungen macht und die Elemente 2 und 4 ebenfalls zwei Umdrehungen macht. Dies bedeutet, dass sich die Zyklen (1 3 5) und (2 4) jeweils "auf sich selbst anwenden", was sie zu einer Identität macht. Da α ∘ α die Identität ist (d.h., jeder Punkt bleibt auf sich selbst), ist die Signatur einer Identität immer 1: $$\text{sgn}(\alpha \circ \alpha) = 1$$ ### (d) Bestimmung der Inversen Permutation α⁻¹ und sgn(α⁻¹) Die Inverse einer Permutation kann durch Umkehren der Zyklen erhalten werden: - Der Zyklus (1 3 5) wird zu (1 5 3). - Der Zyklus (2 4) wird zu (2 4), da es ein 2-Zyklus ist. Die Inverse von α ist also: $$\alpha^{-1} = (1 5 3)(2 4)$$ Da α⁻¹ ebenfalls das Produkt von zwei Zyklen ist, wobei der Zyklus (1 5 3) eine Länge von 3 und der Zyklus (2 4) eine Länge von 2 hat, ist die Signatur von α⁻¹: $$\text{sgn}(\alpha^{-1}) = (-1) \times (-1) = 1$$ --- **Zusammenfassung der Lösungen:** - (a) α = (1 3 5)(2 4) - (b) sgn(α) = 1 - (c) sgn(α ∘ α) = 1 - (d) α⁻¹ = (1 5 3)(2 4), sgn(α⁻¹) = 1 Möchtest du noch eine detaillierte Erklärung oder hast du weitere Fragen zu dieser Aufgabe? Hier sind einige verwandte Fragen: 1. Wie bestimme ich die Signatur einer Permutation aus der Matrixform? 2. Wie berechne ich das Produkt von zwei Permutationen? 3. Was bedeutet es, eine Permutation als Zyklus darzustellen? 4. Wie finde ich die Inverse einer Permutation? 5. Was ist der Unterschied zwischen der zyklischen Notation und der Matrizenform einer Permutation? **Tipp:** Achte darauf, dass Zyklen bei der Berechnung der Inversen einfach umgedreht werden, da jeder Zyklus eine bestimmte Reihenfolge der Elemente darstellt!Ask a new question for Free
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Permutations
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Permutation Sign
Inverse Permutations
Formulas
Sign of a permutation (sgn(a)) based on the number of inversions or cycle length
Inverse of a cycle: Reverse the order of elements in the cycle
Theorems
Properties of Permutations
Cycle Decomposition Theorem
Suitable Grade Level
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