Soal 7:

A.

Diketahui $P(n+1,3) = P(n,4)$. Ditanyakan $nC2$.

Untuk menyelesaikan ini, kita gunakan rumus permutasi $P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$, sehingga:

$P(n+1,3) = \frac{(n+1)!}{(n+1-3)!} = \frac{(n+1)!}{(n-2)!}$ $P(n,4) = \frac{n!}{(n-4)!}$ Dengan informasi bahwa $P(n+1,3) = P(n,4)$, kita dapat menuliskannya sebagai: $\frac{(n+1)!}{(n-2)!} = \frac{n!}{(n-4)!}$ Kita sederhanakan persamaan ini: $\frac{(n+1) \cdot n!}{(n-2)!} = \frac{n!}{(n-4)!}$ Coret $n!$ dari kedua sisi: $(n+1) \cdot (n)(n-1) = (n-3)(n-4)$ Sederhanakan persamaan ini: $(n+1)(n)(n-1) = (n-3)(n-4)$ Buka persamaan: $n^3 - n = n^2 - 7n + 12$ Pindahkan semua ke satu sisi: $n^3 - n^2 + 6n - 12 = 0$ Coba substitusi $n = 4$ (cara ini sering digunakan untuk persamaan kubik): $4^3 - 4^2 + 6(4) - 12 = 64 - 16 + 24 - 12 = 60$ Jadi $n = 4$.

Sekarang, hitung $nC2$: $nC2 = \frac{n(n-1)}{2} = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$

B.

Diketahui $C(n+1,3) = 4 \cdot C(n,2)$. Hitung $P(n,7)$.

Gunakan rumus kombinasi $C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$: $C(n+1,3) = \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}$ $C(n,2) = \frac{n!}{2!(n-2)!}$ Dari soal, diketahui: $\frac{(n+1)!}{3!(n-2)!} = 4 \cdot \frac{n!}{2!(n-2)!}$ Coret $(n-2)!$ dari kedua sisi: $\frac{(n+1) \cdot n!}{3!} = 4 \cdot \frac{n!}{2!}$ Sederhanakan: $\frac{(n+1)}{6} = \frac{4}{2}$ $n+1 = 12 \quad \Rightarrow \quad n = 11$

Sekarang, hitung $P(n,7)$: $P(n,7) = \frac{n!}{(n-7)!} = \frac{11!}{(11-7)!} = \frac{11!}{4!}$ $11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7! = 55440 \times 7! \quad \text{dan} \quad 4! = 24$ $P(11,7) = \frac{55440 \times 7!}{24} = 2310 \times 7!$

Soal 9:

Dari 13 soal ulangan kimia, siswa diwajibkan mengerjakan 10 soal.

A. 3 nomor pertama harus dikerjakan.

Sisa soal yang perlu dipilih adalah 7 dari 10 soal tersisa, karena 3 soal pertama sudah ditentukan. $\text{Cara memilih 7 soal dari 10 soal tersisa} = C(10,7) = C(10,3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

B. Soal nomor genap harus dikerjakan.

Soal genap adalah nomor 2, 4, 6, 8, 10, dan 12 (ada 6 soal genap). Dari 10 soal yang harus dikerjakan, semua soal genap harus dikerjakan, sehingga kita tinggal memilih 4 soal dari 7 soal ganjil yang tersedia (nomor 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13). $\text{Cara memilih 4 soal dari 7 soal ganjil} = C(7,4) = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 35$

Soal 10:

Dalam sebuah kotak terdapat 5 kelereng merah dan 4 kelereng putih. Akan diambil 3 kelereng sekaligus.

A. Terdapat sekurang-kurangnya 1 kelereng putih.

Pilihan ini bisa dibagi menjadi tiga kasus:

• 1 kelereng putih dan 2 kelereng merah
• 2 kelereng putih dan 1 kelereng merah
• 3 kelereng putih

1. $C(4,1) \times C(5,2) = 4 \times \frac{5 \times 4}{2} = 4 \times 10 = 40$
2. $C(4,2) \times C(5,1) = \frac{4 \times 3}{2} \times 5 = 6 \times 5 = 30$
3. $C(4,3) = 4$

Total cara pengambilan = $40 + 30 + 4 = 74$.

B. Paling banyak 2 kelereng merah.

Ini juga bisa dibagi menjadi dua kasus:

• 0 kelereng merah (3 kelereng putih)
• 1 atau 2 kelereng merah

1. $C(4,3) = 4$
2. Hasilnya sudah dihitung di bagian (A), yang merupakan $40 + 30 = 70$.

Total cara pengambilan $4 + 70 = 74$.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait untuk Anda pikirkan:

1. Bagaimana cara memecahkan persamaan kuadrat yang tidak memiliki solusi nyata?
2. Bagaimana konsep kombinasi berbeda dengan permutasi?
3. Apa