Um die Ableitung $\frac{dy}{dx}$ der implizit gegebenen Funktion $F(x, y) = 0$ zu berechnen, gehen wir schrittweise vor.

Gegeben:

$F(x, y) = \ln(x \cdot y)x + e^x - y^y$ und $(x_0, y_0) = (1, 1)$.

---

1. Bestimmung von $\frac{dy}{dx}$:

Die implizite Ableitung ergibt sich aus der Bedingung $F(x, y) = 0$, indem man die totale Ableitung nach $x$ bildet: $\frac{dF}{dx} = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0.$

Daraus folgt: $\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}.$

---

2. Bestimmung von $\frac{\partial F}{\partial y}$:

Die partielle Ableitung von $F(x, y)$ nach $y$ lautet: $F(x, y) = \ln(x \cdot y)x + e^x - y^y.$

Zunächst die Ableitung der einzelnen Terme:

1. $\frac{\partial}{\partial y}[\ln(x \cdot y)x] = x \cdot \frac{\partial}{\partial y}[\ln(x \cdot y)] = x \cdot \frac{1}{x \cdot y} \cdot x = \frac{x^2}{xy} = \frac{x}{y}.$
2. $\frac{\partial}{\partial y}[e^x] = 0.$
3. $\frac{\partial}{\partial y}[-y^y] = -\left(y^y \cdot (\ln(y) + 1)\right).$

Also: $\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{x}{y} - y^y \cdot (\ln(y) + 1).$

An der Stelle $(x_0, y_0) = (1, 1)$: $\frac{\partial F}{\partial y} \bigg|_{(1, 1)} = \frac{1}{1} - 1^1 \cdot (\ln(1) + 1) = 1 - 1 \cdot (0 + 1) = 0.$

---

3. Bestimmung von $\frac{\partial F}{\partial x}$:

Die partielle Ableitung von $F(x, y)$ nach $x$ lautet: $F(x, y) = \ln(x \cdot y)x + e^x - y^y.$

Zunächst die Ableitung der einzelnen Terme:

1. $\frac{\partial}{\partial x}[\ln(x \cdot y)x] = \ln(x \cdot y) + x \cdot \frac{\partial}{\partial x}[\ln(x \cdot y)] = \ln(x \cdot y) + x \cdot \frac{1}{x \cdot y} \cdot y = \ln(x \cdot y) + 1.$
2. $\frac{\partial}{\partial x}[e^x] = e^x.$
3. $\frac{\partial}{\partial x}[-y^y] = 0.$

Also: $\frac{\partial F}{\partial x} = \ln(x \cdot y) + 1 + e^x.$

An der Stelle $(x_0, y_0) = (1, 1)$: $\frac{\partial F}{\partial x} \bigg|_{(1, 1)} = \ln(1 \cdot 1) + 1 + e^1 = 0 + 1 + e = 1 + e.$

---

4. Bestimmung von $\frac{dy}{dx}$ an $(x_0, y_0) = (1, 1)$:

$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}.$

Setzen wir die Werte ein: $\frac{\partial F}{\partial y} \big|_{(1, 1)} = 0 \quad \text{und} \quad \frac{\partial F}{\partial x} \big|_{(1, 1)} = 1 + e.$

Da $\frac{\partial F}{\partial y} = 0$, ist $\frac{dy}{dx}$ nicht definiert. Es handelt sich um einen kritischen Punkt.

---

Möchten Sie, dass ich weitere Details zu kritischen Punkten erkläre oder andere Ableitungen untersuche? 😊

---

5 Fragen, die das Thema erweitern:

1. Wie beeinflusst die Definition von $F(x, y)$ das Verhalten von $\frac{dy}{dx}$ an kritischen Punkten?
2. Was sind alternative Verfahren zur Untersuchung von $\frac{dy}{dx}$ bei $\frac{\partial F}{\partial y} = 0$?
3. Wie können kritische Punkte in der Praxis interpretiert werden?
4. Wie ändert sich die Ableitung $\frac{dy}{dx}$, wenn der Punkt $(x_0, y_0)$ geändert wird?
5. Welche Rolle spielt die Taylor-Entwicklung bei der Analyse von $\frac{dy}{dx}$ an impliziten Funktionen?

Tipp:

Verwenden Sie die Jacobimatrix, um das Verhalten von impliziten Funktionen in der Umgebung von kritischen Punkten zu untersuchen!