Demostrar que dos vectores son paralelos si su producto es igual a cero 

Para demostrar que dos vectores \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\) son paralelos si su producto cruzado (o vectorial) es igual a cero, seguimos los siguientes pasos:

### 1. Definición de Producto Cruzado
El producto cruzado de dos vectores \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\) en \(\mathbb{R}^3\) está dado por:
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} 
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 
\end{vmatrix}
\]
donde \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) y \(\mathbf{k}\) son los vectores unitarios en las direcciones \(x\), \(y\) y \(z\) respectivamente, y \(a_1, a_2, a_3\) y \(b_1, b_2, b_3\) son las componentes de los vectores \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\).

### 2. Producto Cruzado y Paralelismo
El producto cruzado \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) da como resultado un vector que es perpendicular a ambos \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\). Si \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\) son paralelos, entonces el ángulo entre ellos es \(0^\circ\) o \(180^\circ\), lo cual implica que el seno del ángulo entre ellos es cero:
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin(\theta) \mathbf{n} 
\]
donde \(\theta\) es el ángulo entre los vectores, y \(\mathbf{n}\) es el vector unitario perpendicular al plano definido por \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\). Si \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\) son paralelos, \(\sin(\theta) = 0\), y por lo tanto:
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}
\]

### 3. Conclusión
Si \(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}\), esto implica que los vectores \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\) son paralelos porque el producto cruzado solo es cero cuando los vectores son colineales (paralelos o uno de ellos es el vector cero).

Por lo tanto, se demuestra que si el producto cruzado de dos vectores es cero, los vectores son paralelos.

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relativas:
1. ¿Cómo se calcula el producto cruzado de dos vectores en \(\mathbb{R}^3\)?
2. ¿Qué interpretación geométrica tiene el producto cruzado?
3. ¿En qué casos específicos un producto cruzado no da un vector nulo?
4. ¿Cuál es la diferencia entre producto escalar y producto vectorial?
5. ¿Cómo afecta el producto cruzado al área de un paralelogramo formado por dos vectores?

**Tip:** El producto cruzado de vectores en \(\mathbb{R}^3\) es útil para determinar la orientación y el área de figuras geométricas en el espacio tridimensional.

Demostrar que dos vectores son paralelos si su producto es igual a cero

Learn how to prove that two vectors are parallel if their cross product is zero. This problem includes key concepts in vector algebra such as the cross product formula and its connection to parallelism. Ideal for students in Grades 10-12.

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