首先，我们来处理这个问题。

我们有以下不等式组：

1. $2x + 3y + 4 < 5$
2. $4x + 7y + 2 < 7$
3. $x > 0$
4. $y > 0$

首先，简化这些不等式：

1. $2x + 3y < 1$
2. $4x + 7y < 5$

现在，我们需要找出 $x$ 和 $y$ 的值，使得 $x + y$ 最小，同时满足这些不等式。

求解步骤：

1. 画出不等式的可行区域：

   • 将 $2x + 3y = 1$ 和 $4x + 7y = 5$ 画在坐标系上。
   • 确定每条直线的可行区域（即不等式的解集）。

2. 找出交点：

   • 解方程组 $2x + 3y = 1$ 和 $4x + 7y = 5$ 的交点。

3. 计算可行区域内的顶点：

   • 交点及与坐标轴的交点。

4. 计算这些点的 $x + y$ 值：

   • 找出 $x + y$ 的最小值。

求交点：

解方程组： $2x + 3y = 1$ $4x + 7y = 5$

首先，对第一个方程乘以2得到： $4x + 6y = 2$

将其与第二个方程相减： $(4x + 6y) - (4x + 7y) = 2 - 5$ $-y = -3$ $y = 3$

代入 $y = 3$ 到第一个方程： $2x + 3(3) = 1$ $2x + 9 = 1$ $2x = -8$ $x = -4$

显然，$x = -4$ 和 $y = 3$ 不满足 $x > 0$ 和 $y > 0$ 的条件。因此，我们需要检查其他顶点。

交点与坐标轴交点

由于 $y = 0$ 和 $x = 0$ 都在非负区域内，我们需要求出与坐标轴的交点：

1. 当 $y = 0$:

   • $2x + 3(0) = 1$ 得 $x = 0.5$
   • $4x + 7(0) = 5$ 得 $x = 1.25$

2. 当 $x = 0$:

   • $2(0) + 3y = 1$ 得 $y = \frac{1}{3}$
   • $4(0) + 7y = 5$ 得 $y = \frac{5}{7}$

计算这四个点的 $x + y$ 值：

1. $(0.5, 0)$ -> $x + y = 0.5$
2. $(1.25, 0)$ -> $x + y = 1.25$
3. $(0, \frac{1}{3})$ -> $x + y = \frac{1}{3}$
4. $(0, \frac{5}{7})$ -> $x + y = \frac{5}{7}$

最小值显然为 $\frac{1}{3}$，即 $x = 0$，$y = \frac{1}{3}$。

结论

满足给定不等式组且 $x + y$ 最小值为 $\frac{1}{3}$ 时，$x = 0$，$y = \frac{1}{3}$。

请问您需要更详细的解释或有其他问题吗？

可以参考以下问题来继续学习：

1. 如何求解更多的不等式组问题？
2. 如何在坐标系中画出不等式的可行区域？
3. 什么是线性规划及其应用？
4. 如何使用矩阵方法求解线性方程组？
5. 如何判断不等式组是否有解？

提示： 在处理不等式组时，画图法和交点计算是常用且有效的方法。