2x+3y+4<5;4x+7y+2<7;x，y>0;求x+y最小值

首先，我们来处理这个问题。

我们有以下不等式组：

1. \( 2x + 3y + 4 < 5 \)
2. \( 4x + 7y + 2 < 7 \)
3. \( x > 0 \)
4. \( y > 0 \)

首先，简化这些不等式：

1. \( 2x + 3y < 1 \)
2. \( 4x + 7y < 5 \)

现在，我们需要找出 \( x \) 和 \( y \) 的值，使得 \( x + y \) 最小，同时满足这些不等式。

### 求解步骤：

1. **画出不等式的可行区域：**
   - 将 \( 2x + 3y = 1 \) 和 \( 4x + 7y = 5 \) 画在坐标系上。
   - 确定每条直线的可行区域（即不等式的解集）。

2. **找出交点：**
   - 解方程组 \( 2x + 3y = 1 \) 和 \( 4x + 7y = 5 \) 的交点。

3. **计算可行区域内的顶点：**
   - 交点及与坐标轴的交点。

4. **计算这些点的 \( x + y \) 值：**
   - 找出 \( x + y \) 的最小值。

### 求交点：

解方程组：
\[ 2x + 3y = 1 \]
\[ 4x + 7y = 5 \]

首先，对第一个方程乘以2得到：
\[ 4x + 6y = 2 \]

将其与第二个方程相减：
\[ (4x + 6y) - (4x + 7y) = 2 - 5 \]
\[ -y = -3 \]
\[ y = 3 \]

代入 \( y = 3 \) 到第一个方程：
\[ 2x + 3(3) = 1 \]
\[ 2x + 9 = 1 \]
\[ 2x = -8 \]
\[ x = -4 \]

显然，\( x = -4 \) 和 \( y = 3 \) 不满足 \( x > 0 \) 和 \( y > 0 \) 的条件。因此，我们需要检查其他顶点。

### 交点与坐标轴交点

由于 \( y = 0 \) 和 \( x = 0 \) 都在非负区域内，我们需要求出与坐标轴的交点：

1. 当 \( y = 0 \):
   - \( 2x + 3(0) = 1 \) 得 \( x = 0.5 \)
   - \( 4x + 7(0) = 5 \) 得 \( x = 1.25 \)

2. 当 \( x = 0 \):
   - \( 2(0) + 3y = 1 \) 得 \( y = \frac{1}{3} \)
   - \( 4(0) + 7y = 5 \) 得 \( y = \frac{5}{7} \)

计算这四个点的 \( x + y \) 值：

1. \( (0.5, 0) \) -> \( x + y = 0.5 \)
2. \( (1.25, 0) \) -> \( x + y = 1.25 \)
3. \( (0, \frac{1}{3}) \) -> \( x + y = \frac{1}{3} \)
4. \( (0, \frac{5}{7}) \) -> \( x + y = \frac{5}{7} \)

最小值显然为 \(\frac{1}{3}\)，即 \( x = 0 \)，\( y = \frac{1}{3} \)。

### 结论

满足给定不等式组且 \( x + y \) 最小值为 \(\frac{1}{3}\) 时，\( x = 0 \)，\( y = \frac{1}{3} \)。

请问您需要更详细的解释或有其他问题吗？

可以参考以下问题来继续学习：
1. 如何求解更多的不等式组问题？
2. 如何在坐标系中画出不等式的可行区域？
3. 什么是线性规划及其应用？
4. 如何使用矩阵方法求解线性方程组？
5. 如何判断不等式组是否有解？

**提示：** 在处理不等式组时，画图法和交点计算是常用且有效的方法。

Learn how to optimize x + y under linear inequalities 2x + 3y < 1 and 4x + 7y < 5 with a step-by-step solution. This problem covers linear inequalities, graphing techniques, and finding intersection points. Suitable for advanced high school students (Grades 10-12).

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