Để giải quyết bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định điểm cực trị của hàm số:
   Hàm số đã cho là $f(x) = \sqrt{3}x - x^2$.

   Tìm đạo hàm của hàm số: $f'(x) = \sqrt{3} - 2x$ Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình $f'(x) = 0$: $\sqrt{3} - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Khi $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, giá trị của hàm số tại điểm này là: $f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$ Vậy, điểm cực trị là $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{4}\right)$.

2. Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực trị: Gọi phương trình đường thẳng $d$ là $y = mx + n$. Đường thẳng này đi qua điểm cực trị $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{4}\right)$ nên ta có phương trình: $\frac{3}{4} = m\frac{\sqrt{3}}{2} + n \quad \Rightarrow \quad n = \frac{3}{4} - m\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. Xác định giao điểm của đường thẳng với các trục tọa độ:

   • Giao với trục Ox (y = 0): $0 = mx + n \Rightarrow x = -\frac{n}{m}$, khi đó điểm A là $A\left(-\frac{n}{m}, 0\right)$.
   • Giao với trục Oy (x = 0): $y = n$, khi đó điểm B là $B(0, n)$.

4. Tính diện tích tam giác $OAB$: Diện tích tam giác $OAB$ được tính bằng công thức: $S = \frac{1}{2} \times \text{OA} \times \text{OB} = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{n}{m}\right) \times n = -\frac{n^2}{2m}$ Để diện tích nhỏ nhất, ta cần tối ưu biểu thức $-\frac{n^2}{2m}$.

5. Tối ưu diện tích và xét dấu của $3m - 2n$: Để diện tích $S$ nhỏ nhất, cần có $m > 0$ và giá trị của $n$ phải được lựa chọn phù hợp với $m$.

   Thay biểu thức của $n$ vào: $3m - 2n = 3m - 2\left(\frac{3}{4} - m\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3m - \frac{3}{2} + m\sqrt{3} = m\left(3 + \sqrt{3}\right) - \frac{3}{2}$ Xét dấu của $3m - 2n$:

   • Nếu $m > 0$, thì $3m - 2n > 0$ khi $m$ lớn.
   • Nếu $m$ nhỏ thì giá trị có thể âm, nhưng không nhất thiết phải âm.

Kết luận: Khẳng định "Khi diện tích tam giác $OAB$ nhỏ nhất, $3m - 2n$ là một số âm" là sai. Việc tối thiểu hóa diện tích tam giác không nhất thiết dẫn đến $3m - 2n$ là một số âm.

---

Bạn có muốn biết chi tiết thêm về quá trình hay có câu hỏi nào khác không?
5 câu hỏi liên quan:

1. Điều kiện gì để diện tích tam giác $OAB$ đạt giá trị lớn nhất?
2. Làm thế nào để tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ khác?
3. Có phương pháp nào khác để tìm điểm cực trị của hàm số không?
4. Tại sao $3m - 2n$ lại không luôn âm khi tối thiểu hóa diện tích tam giác?
5. Phương trình đường thẳng $y = mx + n$ cắt đồ thị của hàm số như thế nào?

Mẹo: Để xác định dấu của biểu thức liên quan đến tham số, hãy cố gắng đánh giá tất cả các trường hợp có thể xảy ra cho tham số đó.