Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu menghitung jumlah output optimum (di mana keuntungan maksimum tercapai) dan keuntungan maksimum dengan menggunakan analisis fungsi penerimaan total (TR) dan biaya total (TC).

---

Langkah-Langkah Penyelesaian:

1. Fungsi Laba: $\pi(Q) = TR(Q) - TC(Q)$ Substitusikan $TR = 500Q - 3Q^2$ dan $TC = 75Q + 3Q^2$: $\pi(Q) = (500Q - 3Q^2) - (75Q + 3Q^2)$ $\pi(Q) = 500Q - 3Q^2 - 75Q - 3Q^2$ $\pi(Q) = 425Q - 6Q^2$

2. Turunan Fungsi Laba untuk Optimalisasi: Cari turunan pertama dari fungsi laba $\pi(Q)$ terhadap $Q$: $\pi'(Q) = \frac{d}{dQ}(425Q - 6Q^2) = 425 - 12Q$ Tetapkan $\pi'(Q) = 0$ untuk menemukan $Q$ optimum: $425 - 12Q = 0$ $12Q = 425$ $Q = \frac{425}{12} \approx 35.42$

   Jadi, output optimum adalah sekitar 35,42 unit.

3. Keuntungan Maksimum: Substitusikan $Q = 35.42$ ke fungsi laba $\pi(Q)$: $\pi(Q) = 425Q - 6Q^2$ $\pi(35.42) = 425(35.42) - 6(35.42)^2$ Hitung secara rinci: $\pi(35.42) = 15003.5 - 6(1254.13) = 15003.5 - 7524.78 = 7478.72$

   Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh produsen adalah sekitar 7478,72.

---

Hasil Akhir:

• Jumlah output optimum (Q): $35,42$ unit
• Keuntungan maksimum ($\pi$): $7478,72$

---

Pertanyaan Tambahan:

1. Bagaimana jika biaya tetap berubah, apakah output optimum tetap sama?
2. Apa pengaruh perubahan fungsi $TR$ terhadap keuntungan maksimum?
3. Apakah ada metode lain untuk menghitung titik optimum ini, seperti analisis grafik?
4. Bagaimana jika biaya total lebih besar dari penerimaan total? Apa dampaknya bagi produsen?
5. Bagaimana konsep ini diterapkan dalam dunia bisnis nyata untuk pengambilan keputusan?

Tip: Selalu perhatikan kondisi turunan kedua untuk memastikan maksimum atau minimum dalam optimisasi fungsi.