En una empresa de artículos deportivos, la función de producción está dada por la expresión
𝑃(𝑥, 𝑦) = 800√3𝑦
2 +
3
2
𝑥
2[miles de unidades] donde "𝑥" e "𝑦", representan el número de
unidades de balones y raquetas. Los costos unitarios de las raquetas son $ 250, mientras
que los de los balones son $ 50. La empresa dispone de $ 6.750 para gastar en producir.
¿Cuántas unidades de cada artículo optimizan la producción? 

Para resolver el problema, debemos maximizar la función de producción $ P(x, y) = 800\sqrt{3y^2 + \frac{3}{2}x^2} $ bajo la restricción de costos dada por la empresa. 

### Paso 1: Escribir la restricción de costos
El costo total para producir $ x $ unidades de balones y $ y $ unidades de raquetas está dado por:
\[
C(x, y) = 50x + 250y
\]
Dado que la empresa tiene un presupuesto de $6,750, la restricción es:
\[
50x + 250y = 6750
\]
Podemos simplificar esta ecuación dividiendo todos los términos entre 50:
\[
x + 5y = 135
\]

### Paso 2: Usar el método de Lagrange
Para optimizar la función de producción $ P(x, y) $ con la restricción de costos, aplicamos el método de los multiplicadores de Lagrange. Definimos la función Lagrangiana como:
\[
\mathcal{L}(x, y, \lambda) = 800\sqrt{3y^2 + \frac{3}{2}x^2} + \lambda(135 - x - 5y)
\]

### Paso 3: Derivar la función Lagrangiana
Derivamos la Lagrangiana respecto a $ x $, $ y $, y $ \lambda $, y luego igualamos a cero:
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 800 \cdot \frac{3x}{\sqrt{3y^2 + \frac{3}{2}x^2}} - \lambda = 0
\]
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 800 \cdot \frac{6y}{\sqrt{3y^2 + \frac{3}{2}x^2}} - 5\lambda = 0
\]
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 135 - x - 5y = 0
\]

### Paso 4: Resolver el sistema de ecuaciones
Primero, dividimos la ecuación derivada respecto a $ y $ por la derivada respecto a $ x $ para eliminar $ \lambda $:
\[
\frac{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}}{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}} = \frac{6y}{3x} = \frac{5\lambda}{\lambda} = 5
\]
\[
\frac{2y}{x} = 5 \implies 2y = 5x \implies y = \frac{5}{2}x
\]

### Paso 5: Sustituir en la restricción de costos
Sustituimos $ y = \frac{5}{2}x $ en la restricción:
\[
x + 5\left(\frac{5}{2}x\right) = 135
\]
\[
x + \frac{25}{2}x = 135
\]
\[
\frac{27}{2}x = 135 \implies x = \frac{135 \times 2}{27} = 10
\]

Ahora, sustituimos $ x = 10 $ en la ecuación $ y = \frac{5}{2}x $:
\[
y = \frac{5}{2} \times 10 = 25
\]

### Respuesta final
Para maximizar la producción bajo la restricción de costos, la empresa debe producir 10 unidades de balones y 25 unidades de raquetas.

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué es el método de Lagrange y en qué otros casos se utiliza?
2. ¿Cómo se puede modificar el problema si el presupuesto cambia?
3. ¿Qué sucedería si los costos unitarios de los balones y las raquetas fueran diferentes?
4. ¿Cómo afecta la función de producción al número óptimo de unidades de productos?
5. ¿Qué significan los multiplicadores de Lagrange en este contexto?

**Tip:** Cuando uses el método de Lagrange, asegúrate de que las derivadas estén bien simplificadas para evitar errores en el cálculo.

Explore how to optimize production of balls and rackets under a cost constraint using Lagrange multipliers. Solve the mathematical problem involving a production function and cost equation. Suitable for advanced learners.

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