これらの問題は、それぞれ微分とラグランジュの未定乗数法を用いて解くことができます。順に解いていきましょう。

1. $x > 0$ のとき $f(x) = \frac{x}{x^2} + 32$ の最小値を求める

まず、関数を以下のように定義します。

$f(x) = x + \frac{32}{x^2}$

この関数の最小値を求めるために、まず $f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 1 - \frac{64}{x^3}$

これを0に等しくして、極値を求めます。

$1 - \frac{64}{x^3} = 0$

$\frac{64}{x^3} = 1 \implies x^3 = 64 \implies x = 4$

次に、 $x = 4$ での $f(x)$ の値を求めます。

$f(4) = 4 + \frac{32}{16} = 4 + 2 = 6$

また、$f(x)$ の第二次微分 $f''(x)$ を確認して、極値が最小値かどうかを判定します。

$f''(x) = \frac{192}{x^4}$

$f''(x) > 0$ なので、 $x = 4$ は最小値を与えます。

したがって、最小値は 6 です。

2. $2x + 2y + z = 2$ のとき $g(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + z^2$ の最小値を求める

この問題はラグランジュの未定乗数法を用いて解きます。関数 $g(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + z^2$ と制約条件 $2x + 2y + z = 2$ を考えます。

ラグランジュ乗数法により、以下の関数を考えます。

$\mathcal{L}(x, y, z, \lambda) = x^2 + 2y^2 + z^2 + \lambda(2x + 2y + z - 2)$

これを $x$, $y$, $z$, $\lambda$ で微分してそれぞれ0に等しくします。

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x + 2\lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\lambda$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 4y + 2\lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{\lambda}{2}$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = 2z + \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad z = -\frac{\lambda}{2}$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 2x + 2y + z - 2 = 0$

これを制約条件 $2x + 2y + z = 2$ に代入します。

$2(-\lambda) + 2\left(-\frac{\lambda}{2}\right) + \left(-\frac{\lambda}{2}\right) = 2$

$-2\lambda - \lambda - \frac{\lambda}{2} = 2 \quad \Rightarrow \quad -\frac{7\lambda}{2} = 2 \quad \Rightarrow \quad \lambda = -\frac{4}{7}$

これを $x$, $y$, $z$ に代入します。

$x = \frac{4}{7}, \quad y = \frac{2}{7}, \quad z = \frac{2}{7}$

最小値を計算します。

$g\left(\frac{4}{7}, \frac{2}{7}, \frac{2}{7}\right) = \left(\frac{4}{7}\right)^2 + 2\left(\frac{2}{7}\right)^2 + \left(\frac{2}{7}\right)^2 = \frac{16}{49} + \frac{8}{49} + \frac{4}{49} = \frac{28}{49} = \frac{4}{7}$

したがって、最小値は $\frac{4}{7}$ です。

もし詳細な説明が必要であれば、お知らせください。

次の関連質問:

1. ラグランジュの未定乗数法とは何ですか？
2. 微分を使って極値を求める方法の一般的な手順は？
3. ラグランジュ乗数法が適用される他の例を挙げてください。
4. 制約条件がある場合の最適化問題の解き方について詳しく教えてください。
5. 最小値を求める他の方法にはどのようなものがありますか？
6. 微分の応用例として、実生活での最適化問題は何がありますか？
7. 複数の変数がある関数の最適化問題の解き方について詳しく説明してください。
8. 二次関数の最小値や最大値を求める方法を教えてください。

Tip: 複数の変数が絡む最適化問題では、ラグランジュ乗数法が非常に有用です。