Para resolver este problema, seguimos los pasos detallados para determinar las dimensiones que maximizan el área y luego calcular el área máxima de cada uno de los lotes pequeños.

Planteamiento del problema:

1. Definición de variables:

   • $x$: longitud de los segmentos perpendiculares al río (la altura del rectángulo).
   • $y$: longitud del segmento paralelo al río (la base del rectángulo).

2. Restricción del perímetro: El agricultor tiene 750 metros de malla. La malla se usa para 3 segmentos $x$ y 2 segmentos $y$: $3x + 2y = 750$

3. Área total del lote: La función del área total $A$ es: $A = x \cdot y$

Queremos maximizar esta área bajo la restricción $3x + 2y = 750$.

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Paso 1: Despejar $y$ en términos de $x$

De la restricción $3x + 2y = 750$: $2y = 750 - 3x \quad \Rightarrow \quad y = \frac{750 - 3x}{2}$

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Paso 2: Sustituir $y$ en la función del área

Reemplazamos $y$ en $A = x \cdot y$: $A(x) = x \cdot \frac{750 - 3x}{2}$ Simplificamos: $A(x) = \frac{750x - 3x^2}{2}$ $A(x) = 375x - \frac{3}{2}x^2$

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Paso 3: Maximizar el área

Derivamos $A(x)$ respecto a $x$ y la igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $A'(x) = 375 - 3x = 0$ $x = 125$

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Paso 4: Calcular $y$

Sustituimos $x = 125$ en $y = \frac{750 - 3x}{2}$: $y = \frac{750 - 3(125)}{2}$ $y = \frac{750 - 375}{2} = \frac{375}{2} = 187.5$

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Paso 5: Área máxima por lote pequeño

El área total del lote es: $A_{\text{total}} = x \cdot y = 125 \cdot 187.5 = 23437.5 \, \text{m}^2$ Como hay 4 lotes pequeños, el área de cada lote es: $A_{\text{lote}} = \frac{23437.5}{4} = 5859.4 \, \text{m}^2$

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Respuesta final:

• Dimensiones que maximizan el área: $x = 125 \, \text{m}, y = 187.5 \, \text{m}$.
• Área máxima de cada lote pequeño: $5859.4 \, \text{m}^2$.

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¿Tienes alguna duda o necesitas detalles adicionales sobre los cálculos? 😊

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se puede verificar que estas dimensiones realmente maximizan el área?
2. ¿Qué pasa si el agricultor decide dividir el terreno en más de 4 lotes?
3. ¿Qué técnica matemática se usa para optimizar funciones como esta?
4. ¿Qué implicaría cambiar la longitud total de la malla disponible?
5. ¿Cómo afecta la relación entre $x$ y $y$ al área máxima?

Tip: La optimización es clave en problemas prácticos, desde la agricultura hasta la ingeniería. Familiarízate con derivadas y restricciones para resolver problemas similares rápidamente.