Vamos a resolver el problema de optimización no restringida utilizando el método del gradiente para las dos funciones propuestas. Tomaremos la primera función para trabajar con ella, pero el proceso es análogo para la segunda función.

Función a maximizar: $f(x) = 2x_1x_2 + x_2 - x_1^2 - 2x_2^2$ donde $x_1, x_2$ son las variables y debemos encontrar el máximo de $f(x)$ a partir del punto inicial $(x_1, x_2) = (1, 1)$.

Paso 1: Gradiente de la función

Para aplicar el método de gradiente, primero calculamos el gradiente de $f(x)$, que es el vector de derivadas parciales de $f$ con respecto a $x_1$ y $x_2$. El gradiente está dado por:

$\nabla f(x) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2} \right)$

Derivadas parciales de $f(x)$:

• $\frac{\partial f}{\partial x_1} = 2x_2 - 2x_1$
• $\frac{\partial f}{\partial x_2} = 2x_1 + 1 - 4x_2$

Por lo tanto, el gradiente es:

$\nabla f(x) = \left( 2x_2 - 2x_1, 2x_1 + 1 - 4x_2 \right)$

Paso 2: Evaluar el gradiente en el punto inicial

Evaluamos el gradiente en el punto inicial $(x_1, x_2) = (1, 1)$:

• $\frac{\partial f}{\partial x_1} = 2(1) - 2(1) = 0$
• $\frac{\partial f}{\partial x_2} = 2(1) + 1 - 4(1) = -1$

Por lo tanto, el gradiente en $(1, 1)$ es:

$\nabla f(1, 1) = (0, -1)$

Paso 3: Actualización de los valores de $x_1$ y $x_2$

El método de gradiente utiliza la siguiente fórmula para actualizar los valores de $x_1$ y $x_2$:

$x_k = x_{k-1} - \alpha \nabla f(x_{k-1})$

donde $\alpha$ es el tamaño del paso (tasa de aprendizaje). En este caso, tomaremos $\alpha = 0.1$ como un valor estándar.

Entonces, la actualización para $x_1$ y $x_2$ es:

$x_1^{(1)} = 1 - 0.1 \times 0 = 1$ $x_2^{(1)} = 1 - 0.1 \times (-1) = 1 + 0.1 = 1.1$

Paso 4: Repetir el proceso

El proceso se repite de manera iterativa. Para obtener más iteraciones, recalculamos el gradiente en el nuevo punto $(x_1^{(1)}, x_2^{(1)}) = (1, 1.1)$ y aplicamos el mismo procedimiento.

Pregunta de seguimiento: ¿Te gustaría que continuemos con más iteraciones de este método de gradiente o que lo hagamos para la segunda función que mencionaste?

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5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo elegir el tamaño de paso ($\alpha$) en el método de gradiente?
2. ¿Cuándo se considera que el método del gradiente ha convergido a una solución?
3. ¿Cómo se aplicaría el método de gradiente para la segunda función propuesta $f(x) = 2x_1x_2 - 2x_1^2 - x_2^2$?
4. ¿Qué pasa si el tamaño de paso es demasiado grande o demasiado pequeño en el método de gradiente?
5. ¿Cuál es la diferencia entre el método de gradiente para optimización sin restricciones y el método de gradiente para optimización con restricciones?

Consejo: Si el gradiente no parece converger, es útil intentar modificar el tamaño del paso o usar un método de gradiente más avanzado, como el gradiente conjugado.