Para resolver este problema, vamos a seguir los siguientes pasos:

1. Especificar la función de producción:
   La función de producción está dada por $f(x_1, x_2) = x_1^{1/3} x_2^{1/3}$.

   Donde:

   • $x_1$ es la cantidad de trabajadores.
   • $x_2 = 27$ es la cantidad de máquinas.
   • $p = 5$ es el precio del producto.
   • $w_1 = 1$ es el costo por hora de los trabajadores.
   • $w_2 = 3$ es el costo por hora de las máquinas.

2. Encontrar la cantidad óptima de trabajadores (x1):

   El problema requiere maximizar el beneficio, que es la diferencia entre los ingresos y los costos:

   $\text{Beneficio} = \text{Ingresos} - \text{Costos}$ $\text{Beneficio} = p \cdot f(x_1, x_2) - (w_1 \cdot x_1 + w_2 \cdot x_2)$ Substituyendo los valores dados:

   $\text{Beneficio} = 5 \cdot (x_1^{1/3} \cdot 27^{1/3}) - (1 \cdot x_1 + 3 \cdot 27)$

   Como $27^{1/3} = 3$, la función de beneficio se simplifica a:

   $\text{Beneficio} = 15x_1^{1/3} - x_1 - 81$

   Para encontrar la cantidad óptima de trabajadores $x_1$, derivamos el beneficio con respecto a $x_1$ y lo igualamos a cero:

   $\frac{d(\text{Beneficio})}{dx_1} = 15 \cdot \frac{1}{3} \cdot x_1^{-2/3} - 1 = 0$ $5 \cdot x_1^{-2/3} = 1$ $x_1^{-2/3} = \frac{1}{5}$ $x_1^{2/3} = 5$ $x_1 = 5^{3/2} = \sqrt{125} \approx 11.18$

   La cantidad óptima de trabajadores a contratar es aproximadamente $x_1 \approx 11.18$.

3. Calcular la producción óptima:

   Substituimos $x_1 \approx 11.18$ y $x_2 = 27$ en la función de producción:

   $f(x_1, x_2) = 11.18^{1/3} \cdot 27^{1/3} \approx 2.23 \cdot 3 = 6.69$

   La producción óptima es aproximadamente 6.69 unidades.

4. Calcular el beneficio máximo:

   Sustituimos los valores óptimos en la función de beneficio:

   $\text{Beneficio} = 15 \cdot 11.18^{1/3} - 11.18 - 81$ $\text{Beneficio} \approx 15 \cdot 2.23 - 11.18 - 81 = 33.45 - 11.18 - 81 \approx -58.73$

   En este caso, el beneficio máximo es negativo, lo que indica que no es rentable operar bajo estas condiciones.

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué sucede si cambiamos el costo de los trabajadores?
2. ¿Cómo influye un cambio en el precio del producto en el beneficio máximo?
3. ¿Qué pasaría si incrementamos el número de máquinas?
4. ¿Cómo afecta una reducción del costo de las máquinas al beneficio?
5. ¿Es posible obtener un beneficio positivo bajo diferentes condiciones?

Tip: Siempre es importante considerar los costos fijos y variables en la producción para identificar la viabilidad económica del negocio.